Question

....numeros Complejos​

Answer 1

Hola,

$\green{\underline{\bold{\red{\sf N\acute{u}meros \: complejos}}}}$

• Respuestas:

$\boxed{1} \: \: \sf(2 + 3i)( - 2i + 1) = \green{\boxed{ \sf 8 - i}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \boxed{2} \: \: ( \sf- 12i + 8) - (6 - i) = \red{ \boxed{ \sf 2 - 11i}} \: \: \: \: \: \\ \\ \boxed{3} \: \: \dfrac{ \sf2 - 5i}{ \sf - i + 3} = \green{ \boxed{ \red{ \sf \dfrac{11}{10} - \dfrac{13}{10}i = 1.1 - 1.3i}}}$

• Explicación:

En el conjunto de los complejos $\mathbb{C}, \: i^{2} = -1$ y los números se pueden escribir en forma algebraica, es decir, de la siguiente manera:

$\sf z = \blue{a} + i\orange{b} \\ \\ \sf Donde: \\ \bullet \: \sf \blue{a} \: y \: \orange{b} \: son \: dos \: n\acute{u}meros \: reales. \\ \bullet \sf \: \blue{a} \: es \: la \: parte \: real \: de \: z. \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \bullet \sf \: \orange{b} \: es \: la \: parte \: imaginaria \: de \: z. \:$

$\boxed{1} \\ \sf(2 + 3i)( - 2i + 1) \implies desarrollamos \\ \sf= 2 \times ( - 2i)+ 2 \times 1 + 3i \times ( - 2i) + 3i \times 1 \\ \sf = - 4i + 2 - 6 {i}^{2} + 3i \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf = - 4i + 3i + 2 - 6 {i}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf = - i + 2 - 6 {i}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf = - i + 2 - 6 \red{ \times ( - 1)} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf = - i + 2 + 6 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf = \green{ \boxed{ \sf8 - i}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

$\sf \boxed{2} \\ \sf ( - 12i + 8) - (6 - i) \\ \sf = - 12i + 8 - 6 + i \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf = \red{ \boxed{ \sf 2 - 11i}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

$\sf \boxed{3} \\ \\ \sf \dfrac{2 - 5i}{ - i + 3} \implies Multiplicamos \: el \: denominador \: y \: el \: numerador \: por \: el \: conjugado \: de \: -i + 3 \\ \\ = \sf \dfrac{2 - 5i}{ - i + 3} \times \red{ \sf \dfrac{3 + i}{3 + i}} = \sf \dfrac{(2 - 5i) \red{(3 + i)}}{ \underbrace{( 3 - i) \red{(3 + i)}} _{ Producto \: notable}} = \dfrac{6 + 2i - 15i - 5 {i}^{2} }{ {3}^{2} - {i}^{2} } = \dfrac{6 - 13i - 5 \times ( - 1)}{9 - ( - 1)} \\ \\ \sf= \sf \dfrac{11 - 13i}{10} =\green{ \boxed{ \red{ \sf\dfrac{11}{10} - \dfrac{13}{10} i = 1.1 - 1.3i}}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

$\sf \pink{Producto \: notable : } \\ \\ \sf( \blue{a} - \purple{b})( \blue{a} + \purple{b}) = \blue{a}^{2} - \purple{b} ^{2}$