Question

El punto de tangencia de la circunferencia inscrita en un trapecio rectángulo divide al mayor de los lados no paralelos en segmentos que miden 1 u y 9 u. Calcule la longitud de la mediana del trapecio.

Answer 1

La longitud de la mediana del trapecio rectángulo es de $10+\sqrt{84}$.

¿Cómo hallar la longitud de la mediana del trapecio?

La mediana del trapecio es el segmento que cruza a los lados no paralelos en sus puntos medios. En este caso es el segmento GF. Podemos definir el triángulo rectángulo OFE, con lo cual tenemos:

$OF=\sqrt{R^2+EF^2}$

Entonces, la mediana del trapecio tiene la siguiente expresión:

$GF=R+\sqrt{R^2+EF^2}$

Como el punto F es el punto medio del lado oblicuo, tenemos BC=1+9=10=>BF=5. Entonces tenemos EF=BF-BE=5-1=4. Tenemos, además, el triángulo BHC, semejante a OFE, por lo que podemos establecer la relación de semejanza:

$\frac{BH}{BC}=\frac{R}{OF}\\\\\frac{R}{10}=\frac{R}{\sqrt{R^2+4^2}}\\\\10=\sqrt{R^2+16}\\\\R=\sqrt{10^2-16}=\sqrt{84}$

Entonces, la longitud de la mediana es:

$GF=\sqrt{84}+\sqrt{84+16}=10+\sqrt{84}$

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