Question

Alguien que me pueda ayudar a comprobar esta identidad por favor?, me urge mucho:(

[csc (A) - cot (A)] [sec (A) + 1] = tan (A)​

Answer 1

Respuesta:

La identidad es correcta.

Explicación paso a paso:

$\Large\underline{\underline{\textbf{Identidades trigonom\'etricas}}}$

► $\texttt{Problema}$

Demostrar la siguiente identidad:

$\mathsf{[Csc(A)-Cot(A)][Sec(A)+1]=Tan(A)}$

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Para la demostración de una identidad trigonométrica es que tanto el derecho y el izquierdo deben ser el mismo. Es recomendable usar solamente las razones seno y coseno y las demás que NO lo sean expresarlas en esas dos razones.

La cosecante la puedo expresar como la división de 1 y seno.

$\qquad\bold{\dfrac{1}{Sen(A)}=Csc(A)}$

La cotangente la puedo expresar como la división de coseno y seno.

$\qquad\bold{\dfrac{Cos(A)}{Sen(A)}=Cot(A)}$

La secante la puedo expresar como la división de 1 y coseno.

$\qquad\bold{\dfrac{1}{Cos(A)}=Sec(A)}$

A las expresiones de las razones las vamos a reemplazar en la ecuación inicial.

$\mathsf{\Big[\dfrac{1}{Sen(A)} -\dfrac{Cos(A)}{Sen(A)}\Big]\Big[\dfrac{1}{Cos(A)}+1\Big]=Tan(A)}$

Como tenemos fracciones homogéneas las juntamos en una sola.

$\mathsf{\Big[\dfrac{1-Cos(A)}{Sen(A)} \Big]\Big[\dfrac{1}{Cos(A)}+1\Big]=Tan(A)}$

Utilizamos Sonrisa.

$\mathsf{\Big[\dfrac{1-Cos(A)}{Sen(A)} \Big]\Big[\dfrac{Cos(A)+1}{Cos(A)}\Big]=Tan(A)}$

En el numerador de la segunda fracción vamos a ordenarlo; es decir, primero va a ir el 1 y después Cos(A).

$\mathsf{\Big[\dfrac{1-Cos(A)}{Sen(A)} \Big]\Big[\dfrac{1+Cos(A)}{Cos(A)}\Big]=Tan(A)}$

Tenemos multiplicación de fracciones.

$\mathsf{\dfrac{(1-Cos(A))*(1+Cos(A))}{Sen(A)*Cos(A)}=Tan(A)}$

En el numerador utilizamos el producto notable conocido como diferencia de cuadrados.

$\qquad\bold{(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}}$

$\mathsf{\dfrac{1^{2}-Cos^{2}(A)}{Sen(A)*Cos(A)}=Tan(A)}$

Para poder hallar el valor de 1 - Cos²(A) voy a utilizar una la cual es propiedad pitagórica:

$\qquad\bold{Sen^{2}(A)+Cos^{2}(A)=1}\longrightarrow\bold{Sen^{2}(A)=1-Cos^{2}(A)}$

$\mathsf{\dfrac{Sen^{2}(A)}{Sen(A)*Cos(A)}=Tan(A)}$

Como en el numerador y denominador está Sen(A) se cancelan.

$\mathsf{\dfrac{Sen(A)}{Cos(A)}=Tan(A)}$

Recordemos que la división de seno y coseno es equivalente a tangente.

$\rightarrow\boxed{\boxed{\bold{Tan(A)=Tan(A)}}}$