Question

Sea V(t) un vector de módulo constante. Demostrar que su variación en función de t es un vector perpendicular a él. Suponga que V(t) es la velocidad tangencial de un movimiento circular uniforme. Su variación es entonces la aceleración centrípeta que debe ser perpendicular a V(t), según lo que se pide demostrar. Use las aplicaciones de la derivada de una función.

Answer 1

Un ejemplo ilustrativo de esta situación es el del movimiento circular uniforme donde la velocidad tangencial varía continuamente su dirección manteniendo constante el módulo.

El producto escalar de un vector por sí mismo es igual al cuadrado de su módulo.

V = V(t)

V . V = |V|²  = constante.

El punto indica producto escalar

Derivamos respecto del tiempo, teniendo en cuenta que es el producto de dos funciones.

dV/dt . V + V . dV/dt = 0

El producto escalar es conmutativo:

Nos queda 2 dV/dt . V = 0

Si el producto escalar es nulo, los vectores son perpendiculares.

En Física, la derivada del vector velocidad es la aceleración.

En este caso es la aceleración centrípeta, dirigida continuamente hacia el  centro de la circunferencia.

Saludos.