Question

Comprueba la siguiente identidad trigonométrica
[cot(A)-csc(A)][cot(A)+csc(A)]= -cos^2(A)-sen^2(A)

Gracias de antemano

Answer 1

Respuesta:

La igualdad es correcta.

Explicación paso a paso:

$\Large\underline{\underline{\textbf{Identidades trigonom\'etricas}}}$

► $\texttt{Problema}$

Demostrar la siguiente igualdad:

$\mathsf{[Cot(A)-Csc(A)][Cot(A)+Csc(A)]=-Cos^{2}(A)-Sen^{2}(A)}$

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Para poder demostrar una identidad trigonométrica es recomendable pasar las RT que NO sean seno y coseno a esas razones. Esto se debe a que es más fácil trabajar con las RT seno y coseno.

Lo primero que haremos será trabajar la parte de la derecha. Para poder trabajarla voy a usar la propiedad pitagórica:

$\qquad\bold{Cos^{2}(A)+Sen^{2}(A)=1}$

A dicha propiedad voy a multiplicarla por -1.

$\mathsf{\big(Cos^{2}(A)+Sen^{2}(A)=1\big)\times-1}$

Lo que nos quedaría de la siguiente manera:

$\mathsf{-Cos^{2}(A)-Sen^{2}(A)=-1}$

Como tenemos esa igualdad vamos a reemplazarla en la identidad original.

$\mathsf{[Cot(A)-Csc(A)][Cot(A)+Csc(A)]=-1}$

En la primera expresión tenemos un producto de la suma y diferencia, para eso vamos a usar un producto notable el cual es diferencia de cuadrados.

$\mathsf{(a-b)(a+b)=a^{2} -b^{2}}$

Por lo que la identidad nos quedaría:

$\mathsf{[Cot^{2}(A)-Csc^{2}(A)]=-1}$

La Cotangente(Cot) se puede expresar como la división de Coseno y Seno.

$\qquad{\bold{\dfrac{Cos(A)}{Sen(A)}=Cot(A)}}$

La Cosecante(Csc) la podemos expresar como la división de la unidad y Seno.

$\qquad{\bold{\dfrac{1}{Sen(A)}=Csc(A)}}$

Reemplazamos estas expresiones en la identidad que tenemos.

$\mathsf{\Big(\dfrac{Cos(A)}{Sen(A)}\Big)^{2}- \Big(\dfrac{1}{Sen(A)}\Big)^{2}=-1}$

El exponente cuadrático afecta a toda la fracción, por lo que el numerador y denominador estarán elevados al cuadrado.

$\mathsf{\Big(\dfrac{Cos^{2}(A)}{Sen^{2}(A)}\Big)- \Big(\dfrac{1^{2}}{Sen^{2}(A)}\Big)=-1}$

Como tenemos fracciones homogéneas las juntamos a las fracciones.

$\mathsf{\Big[\Big(\dfrac{Cos^{2}(A)-1}{Sen^{2}(A)}\Big)\Big]=-1}$

Utilizamos una propiedad pitagórica la cual nos dice que la suma de seno al cuadrado y coseno al cuadrado su resultado es 1.

$\qquad\bold{Sen^{2}(A)+Cos^{2}(A)=1}$

En esta propiedad despejamos el Sen²(A) quedándonos con Sen²(A)=1-Cos²(A) la cual esta la vamos a reemplazar en el denominador.

$\mathsf{\Big[\Big(\dfrac{Cos^{2}(A)-1}{1-Cos^{2}(A)}\Big)\Big]=-1}$

En el numerador vamos a factorizar el signo menos(-) de la siguiente manera:

$\mathsf{\Big[\Big(\dfrac{-(-Cos^{2}(A)+1)}{1-Cos^{2}(A)}\Big)\Big]=-1}$

Ahora, ordenamos la expresión del numerador.

$\mathsf{\Big[\Big(\dfrac{-(1-Cos^{2}(A))}{1-Cos^{2}(A)}\Big)\Big]=-1}$

Como vemos, tanto en el numerador y denominador se repite 1-Cos²(A) por lo que ambos se cancelan.

Ahora podemos decir que:

$\rightarrow\boxed{\boxed{\bold{-1=-1}}}$