Question

La suma dels n primers termes de la successió aritmètica: 5, 9, 13, 17,...dóna 37.949. Quin es el valor de n?

Fórmula que yo utilizé para intentar conseguir la respuesta : Sn = (a1 + an) · n / 2

Intenté despejar la n con un desesperado intento de hallar la respuesta, pero no pude. :(



¡Gracias!

Answer 1

Claro que no pudiste!!! Ahí te quedan dos incognitas: "n" y "$a_n$" con una sola ecuación, por tanto no puedes encontrar el valor de "n".

Necesitas apoyarte en la otra fórmula, la del término general, sustituyendo lo que conoces de la sucesión que es...

a₁ = 5
d = 4  (diferencia entre términos consecutivos)

El término general dice:  
$a_n=a_1+(n-1)*d \ \ ... sustituyendo... \\ \\ a_n=5+(n-1)*4\ ... elimino\ parentesis... \\ \\ a_n=5+4n-4 \ ...finalmente\ queda... \\ \\ a_n=4n+1$

Con la fórmula de la suma de términos tendríamos...
$37949= \frac{(5+a_n)*n}{2} \ ......despejando\ a_n \\ \\ a_n= \frac{75898}{n} -5$

Ahí te queda un sistema de 2 con 2, resolviendo por igualación nos aparece una ecuación de 2º grado que también resuelvo por su fórmula general:
$n_1_,n_2= \frac{ -b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a}$

$4n+1=\frac{75898}{n} -5 \\ \\ 4n=\frac{75898}{n} -5-1 \\ \\ 4n=\frac{75898}{n} -6 \\ \\ 4n^2=75898-6n \\ \\ 4n^2+6n-75898=0\ ..........dividiendo\ todo\ por\ 2... \\ \\ 2n^2+3n-37949=0 \\ \\ \left \{ {{n_1= \frac{-3+551}{4}=\ 137 } \atop {n_2= \frac{-3-551}{4}}=\ se\ desecha} \right.$

La solución final es 137 términos, o sea, n = 137

Saludos.