Question

Determine cuantos números complejos de tercer cuadrante del plano complejo cumplen:
$z^{50} = 1 + i$

Answer 1

Números complejos:

1. Algunas propiedades que debemos recordar:

• Forma polar o trigonométrica

• Radicación:

Sea:

• $Z = r.(cos\alpha + isen\alpha )$

• $\sqrt[n]{Z} = \sqrt[n]{r}.(cos(\frac{\alpha + 2k\pi } {n} ) + i sen(\frac{\alpha + 2k\pi } {n} ) \\\\Tambien...\\\\\sqrt[n]{Z} = \sqrt[n]{r}.(cis(\frac{\alpha + 2k\pi } {n} ) )$

Donde:

K = 0, 1, 2, 3, 4, ...  (n - 1), lo cual nos da las n raíces diferentes de complejo.

Solución:

Tercer cuadrante de plano complejo

$180^{o} \leq Arg(Z)\leq 270^{o}$

$z^{50} = 1 + i$

• Consideramos que y = 1 + i, "y" es un número complejo, entonces...

$\sqrt[50]{z^{50} } = \sqrt[50]{(1+i)}$

$z = \sqrt[50]{y}$  ........................................(1)

• Recordando la propiedad de radicación...

• *****   $\sqrt[n]{Z} = \sqrt[n]{r}.(cis(\frac{\alpha + 2k\pi } {n} ) )$   *****

$y = 1 + i = \sqrt{2}.(cos\frac{\pi }{4} + i sen\frac{\pi }{4} )$

$\sqrt[50]{y} =\sqrt[50]{\sqrt{2} }.(cis(\frac{\frac{\pi }{4} + 2k\pi } {50} ) )$

Reemplazamos (1)

$z = \sqrt[50]{\sqrt{2} }.(cis(\frac{\frac{\pi }{4} + 2k\pi } {50} ) )$

$z = \sqrt[100]{2 }.(cis(\frac{\frac{\pi }{4} + 2k\pi } {50} ) )$

• Recordar:  

• $Arg (z) = \alpha$ , es el ángulo comprendido entre el eje real positivo del plano complejo y la línea que une z con el origen de dicho plano.

En este caso el argumento de "z" es:

$Arg (z)= (\frac{\frac{\pi }{4} + 2k\pi } {50} )$

Piden:

Números complejos en el tercer cuadrante

$180^{o} \leq Arg(z)\leq 270^{o}$

$180^{o} \leq (\frac{\frac{\pi }{4} + 2k\pi } {50} )\leq 270^{o}$

$180^{o} \leq (\frac{\frac{\pi + 8\pi k }{4} } {50} )\leq 270^{o}$                            

$180^{o} \leq ({\frac{\pi + 8\pi k }{200} } )\leq 270^{o}$                             //Multiplicamos por 200

$36000^{o} \leq {\pi(1+8k) } } \leq 54000^{o}$                   //Dividimos entre $\pi$

$200^{o} \leq {(1+8k) } } \leq 300^{o}$                            // Sumamos "-1"

$199^{o} \leq {8k } } \leq 299^{o}$                                     // Dividimos entre "8"

$24,875\leq k\leq 37,375$

Valores enteros para k

25; 26; 27; 28; 29; ... ; 37 = 37 - 25 + 1 = 13 valores para k

∴Cumplen 13 números complejos del tercer cuadrante.

Saludos!!!