Question

un favor me podrian ayudar​

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

                  Reglas de Derivación

Para resolver este ejercicio, debemos tener en cuenta lo siguiente:

                         Regla de la Cadena

"Si g es una función derivable en "x" y f otra función derivable en g(x), entonces si tomamos la función F(x)= f(g(x))   (esta es la funcion compuesta), esta será derivable en "x" y su derivada se calcula de la siguiente manera:"

                          F'(x)= f'(g(x)) ×g'(x)

                     Regla de la suma / diferencia

"Si f y g son 2 funciones derivables, entonces:"

                  [f(x) ± g(x)]'=    f'(x) ± g'(x)

                   Regla de la potencia

Sea f(x)= xⁿ    ⇒      f'(x)=  n×xⁿ⁻¹       n ∈ R

Veamos el ejercicio, tenemos la función:

$f(x)= \sqrt{2bx+ax^{2} }$    

Donde:

a= 3

b= 2

Nos piden calcular el valor de la derivada cuando x=3

Tenemos:

$f(x)= \sqrt{2*2x+3x^{2} }$

$f(x)= \sqrt{4x+3x^{2} }$

Podemos expresar la raíz como una potencia, nos queda:

$f(x)= (4x+3x^{2} )^{\frac{1}{2} }$

Sea u= 4x + 3x²    ,    entonces  $f(x)= u^{\frac{1}{2} }$

Por regla de la cadena:

$f'(x)= [(u)^{\frac{1}{2} }]' *(u)'$

$f'(x)= [(u)^{\frac{1}{2} } ]'*(4x+3x^{2} )'$

Aplicamos regla de la potencia y regla de una suma

$f'(x)= \frac{1}{2} *(u^{\frac{1}{2} -1}) *[(4x)' + (3x^{2} )']$

$f'(x)= \frac{1}{2} *(u^{-\frac{1}{2} } )*[(4x^{1-1} )+(3*2x^{2-1} )]$

$f'(x)= [\frac{1}{2} *\frac{1}{\sqrt{u} }] *[4+(6x)]$

$f'(x)= \frac{1}{2\sqrt{4x+3x^{2} } } *(4 + 6x)$

$f'(x)= \frac{2}{\sqrt{4x+3x^{2} } } +\frac{3x}{\sqrt{4x+3x^{2} } }$

$f'(x)= \frac{2+3x}{\sqrt{4x+3x^{2} } }$

Ya tenemos la función derivada, ahora debemos ver su valor para cuando x= 3

$f'(3)= \frac{2+3(3)}{\sqrt{4*(3)+3(3)^{2} } }$

$f'(3)= \frac{11}{\sqrt{12+27} }$

$f'(3)= \frac{11}{\sqrt{39} }$

$f'(3)= \frac{11\sqrt{39} }{39}$    Solución

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Saludoss