Question

De verdad necesito ayuda urgente
Sustituya y= eqx, dentro de las ecuaciones diferenciales dadas para determinar todos los valores de la constante q, para los cuales y= eqx es una solución de la ecuación.


a) 2 y’ = 4y

b) 2 y’’ = 8y

c) y'' +7y'+12y=0

d) 2y'' +2y'-12y=0

Answer 1

En la primera ecuación diferencial la constante es q=2.

En la segunda, los valores de la constante son q=2 y q=-2.

En la tercera estos valores son q=-4 y q=-3.

En la cuarta ecuación la constante vale q=-3 y q=2.

Explicación paso a paso:

a) Si en la primera ecuación diferencial reemplazamos $y=e^{qx}$ queda:

$2y'=4y\\\\2.qe^{qx}=4e^{qx}\\\\2q=4\\\\q=2$

b) Ahora tenemos que derivar 2 veces en esta ecuación diferencial:

$2y''=8y\\\\2.q^2e^{qx}=8e^{qx}\\\\2q^2=8\\\\q^2=4\\\\q=2, q=-2$

c) Esta es una ecuación a coeficientes constantes por lo que si reemplazamos a la incógnita por una exponencial queda:

$q^2e^{qx}+7qe^{qx}+12e^{qx}=0\\\\q^2+7q+12=0\\\\q=\frac{-7\ñ\sqrt{7^2-4.1.12}}{2.1}=\frac{-7\ñ\sqrt{49-48}}{2}\\\\q=-4\\\\q=-3$

d) Y ahora tenemos otra ecuación a coeficientes constantes:

$2y''+2y'-12y=0\\\\2q^2e^{qx}+2qe^{qx}-12e^{qx}=0\\\\2q^2+2q-12=0\\\\q=\frac{-2\ñ\sqrt{2^2-4.2(-12)}}{2.2}=\frac{-2\ñ\sqrt{4+96}}{4}=\frac{-2\ñ10}{4}\\\\q=-3\\\\q=2$