Question

∫_0^(π/2)〖cos〗^4 (x) 〖sen〗^3 (x)dx

Answer 1

tienes la siguiente integral,

$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos^{4}(x)\sin^{3}(x)}dx$

la idea es considerar una sustitución de coseno y derivando nos queda seno y se debe cancelar con algún seno detro de la integral pero tenemos un seno al cubo, tenemos que usar un poco el  álgebra.

$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos^{4}(x)\sin^{2}(x)\sin(x)}dx$

si consideramos la siguiente identidad trigonométrica

$\sin^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1$

entonces, podemos podener todo en función de cosenos...con la identidad trigonométrica,

$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos^{4}(x)[1-\cos^{2}(x)]\sin(x)}dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{[\cos^{4}(x)-\cos^{6}(x)]\sin(x)}dx$

ahora sí, podemos considerar una sustitución,

$u=\cos(x) \\ du=-\sin(x)dx \\ \\ dx=\displaystyle-\frac{du}{\sin(x)}$

entonces,

$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{[u^{4}-u^{6}]\sin(x)}\left(-\frac{du}{\sin(x)}\right)=-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{(u^{4}-u^{6})}du$

podíamos haber cambiado los límties de integración también, pero también podemos hallar la primitiva y luego antes de evaluar volvemos a la variable original, entonces, aplicamos la integral de la potencia,

$-\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{(u^{4}-u^{6})}du=-\left(\frac{u^{5}}{5}-\frac{u^{7}}{7}\right|_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

volvemos a la variable original,

$...=\displaystyle-\left(\frac{\cos^{5}(x)}{5}-\frac{\cos^{7}(x)}{7}\right|_{0}^{\frac{\pi}{2}}$

aplicamos el teorema fundamental del cálculo F(b)-F(a), entonces,

$...=\left[\displaystyle-\left(\frac{\cos^{5}\left(\frac{\pi}{2}\right)}{5}-\frac{\cos^{7}\left(\frac{\pi}{2}\right)}{7}\right)-\left(-\left(\frac{\cos^{5}(0)}{5}-\frac{\cos^{7}(0)}{7}\right)\right)\right]$

y como sabrás $\displaystyle\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0\hspace{5mm}\cos(0)=1$  entonces,

$...=\left[\displaystyle-\left(\frac{0}{5}-\frac{0}{7}\right)-\left(-\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)\right)\right] =\displaystyle\frac{1}{5}-\frac{1}{7}=\frac{2}{35}\approx0,05714$

y eso sería todo espero te sirva y si tienes alguna duda me avisas