Question

Calcular el limite de x-5 / x^2 -25 cuando x tiende a 5. Resolver por el método de factorización y simplificación.

Answer 1

$\lim_{x \to 5} \frac{x-5}{ x^{2} -25}$
Si reemplazamos el valor de "x" que es 5, entonces nos queda 0/0 que es una indeterminación. Por lo tanto procedemos a factorizar.
Aplicaremos la factorización por diferencia de cuadrados:
$a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b)$

$\lim_{x \to 5} \frac{x-5}{ x^{2} -25}$
$\lim_{x \to 5} \frac{x-5}{(x+5)(x-5)}$
Simplificamos el término x - 5, tanto en el numerador como en el denominador
$\lim_{x \to 5} \frac{1}{x+5}$
Reemplazamos el valor de "x":
$\lim_{x \to 5} \frac{1}{5+5}$
$\frac{1}{10}$

Answer 2

Calculando el límite obtenemos que Lim x→ 5 ((x - 5)/(x² - 5)) = 10

El producto notable es una expresión que nos da un resultado que ya conocemos y que al verlo podemos sustituir automáticamente, para el producto dado tenemos que podemos recordar la fórmula de diferencia de cuadrados que es igual al producto de la suma de los dos números por la diferencia de ellos que es el producto notable que usaremos, donde tenemos que:

(x + 5)*(x - 5) = x² - (5)² = x² - 25

Usando este producto en el limite que tenemos

Lim x→ 5 ((x - 5)/(x² - 5)) = Lim x→ 5((x - 5)/((x - 5)*(x +5)))

Lim x→ 5 1/(x + 5) = 1/(5 + 5) = 10

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