Question

La parábola verde tiene la ecuación
y= $y=\frac{-x2}{2} + 8$
Se cruza con el eje x en A y B
El punto M es un punto móvil (entre A y
B) en la parábola
Pregunta: Determine la posición del punto.
M de modo que el área del triángulo AMN es
máximo
Lo que es esperado :
Parte 1: Modelado
Parte 2: Tratamiento matemático

ayudaaaaaaa

Answer 1

Respuesta:

La posicion de M  es (1.3 ; 7.1) tal que el area del triangulo AMN es maximo

Explicación paso a paso:

si se cruza con el eje x en A B quiere decir que en ese momento y = 0

entonces 0 = -x^2/2 + 8

x = 4 o x=-4

entonces los puntos de esa parabola en el eje x son A=(4,0) y B=(-4,0)

y tambien si x= 0 entonces y = 8 osea vertice de parabola v(0,8)

Ahora el punto M es un punto arbitrario (x,y) de tal manera que AMN

El area del triangulo se haya como A = bxh/2

La base del triangulo AMN es la distancia de a A hacia N

osea dAN = $\sqrt{(X-(-4))^{2} } = \sqrt{(x+4)^{2} } = x+4$

Y elegimos a M de modo que tenga el mismo X que el punto N para que formemos un triangulo rectángulo para asi poder hallar el area maxima, entonces nos queda que M = (x,y) que pertenece a la parabola pero remplazando el (y) de la formula parabolica tenemos que M = (x , $\frac{-x^2}{2}$+8)

Entonces formariamos un triangulo rectangulo

de base (b) = x+4 y altura(h) = $\frac{-x^2}{2}$ + 8

entonces Area(A) = (x+4)*($\frac{-x^2}{2}$+8) / 2

A = $\frac{-x^3}{2} +8x-2x^2+32$

Paso siguiente para hallar el x que hace maxima el Area del triangulo AMN

tomamos la derivada del Area respecto a x

A' = $\frac{-3x^2}{2} +8 -4x$

ahora igualamos la derivada del Area a 0

0 = $\frac{-3x^2}{2} +8 -4x$

0 = $\frac{3x^2}{2} -8 +4x$

formando binomio cuadrado

0 = $(\frac{\sqrt{3} }{\sqrt{2} } x + \frac{2\sqrt2{} }{\sqrt{3} } )^2 - \frac{32}{3}$

32/3 = $(\frac{\sqrt{3} }{\sqrt{2} } x + \frac{2\sqrt2{} }{\sqrt{3} } )^2$

sacando rais a ambos lados

$\frac{4\sqrt{2} }{\sqrt{3} } =\frac{\sqrt{3} }{\sqrt{2} } x + \frac{2\sqrt2{} }{\sqrt{3} } \\\frac{2\sqrt{2} }{\sqrt{3} } = \frac{\sqrt{3} }{\sqrt{2} } x\\\frac{4}{3} = x$

Por lo tanto x = 4/3 hace que el area del triangulo AMN sea maximo

pero piden las coordenadas del punto M , entonces solo se remplasa x en la formula de la parabola para hallar la componente y

y = $\frac{-(\frac{4}{3})^2 }{2} + 8$

y = 7.1

Por lo que la posicion del punto M es (4/3 ; 7.1) = (1,3 ; 7.1)