Question

Utilizo la definición de la derivada para demostrar que si () y () son dos funciones derivables en el punto “” y () ≠ , entonces la derivada de () = () () es: ℎ′() = ()′ = ′() ∙ ()−() ∙ ′() si me pueden ayudar es para hoy doy coronita ​

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

                           La Derivada

"La derivada de una función f en el punto x ∈ Dom(f), denotado como f'(x) es:"

                 $f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Esta definición usaremos para demostrar la Regla del Cociente

                                        Demostración

Sea h'(x)= f(x) / g(x)   , donde f y g son funciones derivables

Planteando la definición, nos queda:

$h'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\frac{f(x)}{g(x)} }{h}$

$h'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{f(x+h)*g(x)-g(x+h)*f(x)}{g(x+h)*g(x)} }{h}$

$h'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)*g(x)-g(x+h)*f(x)}{g(x+h)*g(x)*h}$

Vamos a usar un pequeño artificio, en el denominador sumaremos y restaremos por f(x)*g(x), es totalmente válido, ya que f(x)*g(x) - f(x)*g(x)= 0

$h'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)*g(x)-f(x)*g(x)+f(x)*g(x)-f(x)*g(x+h)}{g(x+h)*g(x)*h}$

Podemos factorizar:

$h'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{g(x)*[f(x+h)-f(x)]-f(x)*[g(x+h)-g(x)]}{g(x+h)*g(x)*h}$  

$h'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{g(x)*[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}]-f(x)*[\frac{g(x+h)-g(x)}{h}] }{g(x+h)*g(x)}$

Por un lado llegamos a la definición de derivada para f(x) y g(x), luego como h tiende a cero, nos queda que:  g(x+h)= g(x)  

$h'(x)= \frac{g(x)*f'(x)-f(x)*g'(x)}{g(x)*g(x)}$

$h'(x)= \frac{g(x)*f'(x)-f(x)*g'(x)}{[g(x)]^{2} }$

Y así queda demostrado el teorema

Saludoss