Question

calcular el valor de x si : tan (2x+y)=cot(x-y)​

Answer 1

Al operar la expresión de acuerdo con identidades de suma de ángulos, diferencia de ángulos y ángulos dobles;    x    tiene cuatro valores:

$\bold{x~=~0.15~\pi\qquad o\qquad x~=~0.85~\pi\qquad o\qquad x~=~1.15~\pi\qquad\ o\qquad x~=~1.85~\pi}$

Explicación paso a paso:

Para despejar el valor de  x  debemos usar identidades de suma de ángulos y diferencia de ángulos.

$\bold{Tan(\alpha~\pm~\beta)~=~\dfrac{Tan(\alpha)~\pm~Tan(\beta)}{1~\mp~Tan(\alpha)~\cdot~Tan(\beta)}}$

Debemos recordar que cotangente es la recíproca de la tangente; así que:

$\bold{Tan(2x~+~y)~=~\dfrac{1}{Tan(x~-~y)}\qquad\Rightarrow}$

$\bold{\dfrac{Tan(2x)~+~Tan(y)}{1~+~Tan(x)~\cdot~Tan(y)}~=~\dfrac{1~-~Tan(2x)~\cdot~Tan(y)}{Tan(x)~-~Tan(y)}\qquad\Rightarrow}$

Incorporaremos la identidad de ángulo doble

$\bold{Tan(2\alpha)~=~\dfrac{2~Tan(\alpha)}{1~-~2~Tan^2(\alpha)}}$

Entonces

$\bold{\dfrac{\dfrac{2~Tan(x)}{1~-~2~Tan^2(x)}~+~Tan(y)}{1~+~Tan(x)~\cdot~Tan(y)}~=~\dfrac{1~-~\dfrac{2~Tan(x)}{1~-~2~Tan^2(x)}~\cdot~Tan(y)}{Tan(x)~-~Tan(y)}\qquad\Rightarrow}$

Operamos ambos lados de la ecuación iniciando por los numeradores

$\bold{\dfrac{2Tan(x)+Tan(y)-2Tan^2(x)\cdot Tan(y)}{1~+~Tan(x)\cdot Tan(y)}=\dfrac{1-2Tan^2(x)-2Tan(x)\cdot Tan(y)}{Tan(x)~-~Tan(y)}\qquad\Rightarrow}$

Vamos a trabajar por separado cada extremo:

$\bold{IZQ~=~[2Tan(x)+Tan(y)-2Tan^2(x)\cdot Tan(y)]\cdot [Tan(x)~-~Tan(y)]\qquad\Rightarrow}$

$\bold{IZQ=2Tan^2(x)-2Tan^3(x)Tan(y)-Tan(x)Tan(y)-Tan^2(y)+2Tan^2(x)Tan^2(y)}$

$\bold{DER~=~[1~+~Tan(x)\cdot Tan(y)]\cdot[1~-~2Tan^2(x)~-~2Tan(x)\cdot Tan(y)]\qquad\Rightarrow}$

$\bold{DER~=~1~-~2Tan^2(x)~-~Tan(x)Tan(y)~-~2Tan^3(x)Tan(y)~-~2Tan^2(x)Tan^2(y)}$

Los extremos de la ecuación son iguales, por tanto

$\bold{ 2Tan^2(x)-Tan^2(y)+2Tan^2(x)Tan^2(y)=1-2Tan^2(x)-2Tan^2(x)Tan^2(y)}$

$\bold{ 4Tan^2(x)~-~Tan^2(y)~+~4Tan^2(x)Tan^2(y)~=~1\qquad\Rightarrow}$

$\bold{4Tan^2(x)[1~+~Tan^2(y)]~=~1~+~Tan^2(y)\qquad\Rightarrow}$

$\bold{4Tan^2(x)~=~1\qquad\Rightarrow\qquad Tan^2(x)~=~\dfrac{1}{4}\qquad\Rightarrow\qquad Tan(x)~=~\pm~\dfrac{1}{2}}$

De aquí que  x  tiene cuatro valores, un valor en cada cuadrante. Para los valores:

$\bold{Tan(x)~=~\dfrac{1}{2}\qquad\Rightarrow\qquad x~=~0.15~\pi\qquad o\qquad x~=~1.15~\pi}$

$\bold{Tan(x)~=~-\dfrac{1}{2}\qquad\Rightarrow\qquad x~=~0.85~\pi\qquad o\qquad x~=~1.85~\pi}$

Answer 2

Respuesta:

el de arriba tiene la razón