Question

Si el mayor de los promedios de dos números es 10 y el menor de los promedios es 8,1; calcular la media geométrica de dichos números.
por favor ayudenm

Answer 1

Respuesta:

          $9$

Explicación paso a paso:

$x ; y :$ los dos números.

El mayor promedio es la media aritmética:

$M.A= \frac{x+y}{2}$

El menor promedio es la media armónica:  

$M.H= \frac{2xy}{x+y}$

$M.A = 10$    ;   $M.H = 8.1$

Sistema de ecuaciones:

$\frac{x+y}{2} = 10, entonces: x+y = 20$  

$\frac{2xy}{x+y} = 8.1, entonces: \frac{2vx}{20} =8.1$

Por el método de sustitución:

$x+y = 20$               $ecuac.1$

$xy = 81$                    $ecuac.2$

Despejamos " y " en la ecuac.1

$y = 20-x$

Sustituimos " y " en la ecuac.2

$x ( 20-x ) = 81$

$20x -x^{2} = 81$

$-x^{2} +20x-81=0$

$a = -1 ; b = 20 ; c = -81$

Por la fórmula general:

$x = \frac{-b\frac{+}{} \sqrt{b^{2} -4ac} }{2a} = \frac{-20\frac{+}{} \sqrt{(20)^{2} -4(-1)(-81)} }{2(-1)} =\frac{-20\frac{+}{} \sqrt{400-324} }{-2} = \frac{-20\frac{+}{} \sqrt{76} }{-2}$

$x_{1} = \frac{-20+\sqrt{76} }{-2}=\frac{-20+2\sqrt{19} }{-2} =10-\sqrt{19}$          

$x_{2} = \frac{-20-2\sqrt{19} }{-2} = 10+\sqrt{19}$

$y_{1} = 20 -10+\sqrt{19} = 10+\sqrt{19}$

$y_{2} = 20-10-\sqrt{19} =10 -\sqrt{19}$

La media geométrica:

$M.G = \sqrt[n]{x_{1} *y_{1} }$

$M.G = \sqrt[2]{(10-\sqrt{19})*(10+\sqrt{19} ) }$

$M.G = \sqrt{(10)^{2} -(\sqrt{19} )^{2}$

$M.G = \sqrt{100-19}$

$M.G = \sqrt{81}$

$Luego: M.G = 9$