Question

un futbolista le pega a una pelota con un ángulo de 60 grados con respecto al plano horizontal transmitiendole una velocidad inicial de 20 m/s. Calcular el tiempo que dura la pelota en el aire, la altura máxima alcanzada y el alcance horizontal de la pelota​


podrían contestar con procedimientos por favor, dependo de éste ejercicio):

Answer 1

El tiempo de vuelo de la pelota es de 3.46 segundos

La altura máxima del proyectil es de 15 metros

El alcance máximo del proyectil es de 34.64 metros

Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de la gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.

Solución  

Calculamos el tiempo de vuelo

La ecuación del tiempo de vuelo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { t_{V} =\frac{2 \ V _{0} \ . \ sen \ \theta }{ g } }}$

Donde

$\bold { t_{v} } \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el tiempo de vuelo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\bold \ \textsf{Considerando el valor de la gravedad } \bold {10 \ \frac{m}{s^{2} } }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{2 \ . \ (20\ \frac{m}{s} ) \ . \ sen \ (60^o) }{10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 60 grados es de }\bold{ \frac{\sqrt{3} }{2} }$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{20\ \frac{\not m}{\not s} \ . \ \frac{\sqrt{3} }{2} }{10 \ \frac{\not m}{s^{\not 2} } } }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{40\ \ . \ \frac{\sqrt{3} }{2} }{10 } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{\not2 \ . \ 20\ \ . \ \frac{\sqrt{3} }{\not2} }{10 } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{ 20\sqrt{3} }{10 } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =\frac{ 2 \ . \not 10\sqrt{3} }{\not10 } \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =2\sqrt{3} \ segundos }}$

$\boxed {\bold { t _{v} =3.46101 \ segundos }}$

$\large\boxed {\bold { t _{v} =3.46 \ segundos }}$

El tiempo de vuelo de la pelota es de 3.46 segundos

Determinamos la altura máxima

La altura máxima que alcanza un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { H_{max} =\frac{( V_{0})^{2} \ . \ sen^{2} \theta }{2 \ . \ g } }}$

Donde

$\bold { H_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es la altura m\'axima del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{(20 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen^{2} \ (60^o) }{2 \ . \ 10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 60 grados es de }\bold{ \frac{\sqrt{3} }{2} }$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{400\ \frac{m^{2} }{ s^{2} } \ . \ \left(\frac{\sqrt{3} }{2}\right )^{2} }{ 20\ \frac{m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{400\ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \ . \ \frac{3}{4} }{ 20\ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{400\ \ . \ \frac{3}{4} }{ 20\ } \ m }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{ \frac{1200}{4} }{ 20\ } \ m }}$

$\boxed {\bold { H_{max} =\frac{ 300 }{20\ } \ m }}$

$\large\boxed {\bold { H_{max} = Y_{max} = 15\ metros }}$

La altura máxima que alcanza el proyectil es de 15 metros

Hallamos el alcance máximo

La ecuación de alcance máximo de un proyectil está dada por:

$\large\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( V _{0})^{2} \ . \ sen (2 \theta) }{ g } }}$

Donde

$\bold { x_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es el alcance m\'aximo del proyectil }$

$\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }$

$\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil }$

$\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }$

$\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ (20 \ \frac{m}{s} )^{2} \ . \ sen (2 \ 60 ^o) }{ 10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{400\ \frac{m^{\not2} }{\not s^{2}} \ . \ sen (120 ^o) }{ 10 \ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 120 grados es de }\bold{ \frac{\sqrt{3} }{2} }$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{400 \ . \ \frac{\sqrt{3} }{2} }{ 10 } \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{\not2 \ . \ 200\ \ . \ \frac{\sqrt{3} }{\not2} }{ 10 } \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 200\ \ . \ \sqrt{3} }{ 10 } \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =\frac{\not10 \ . \ 20\ \ . \ \sqrt{3} }{ \not10 } \ m }}$

$\boxed {\bold { x_{max} =20 \sqrt{3} \ m }}$

$\large\boxed {\bold { x_{max} =34.64 \ metros }}$

El alcance máximo del proyectil es de 34.64 metros

Se agrega gráfico que evidencia la trayectoria del movimiento