Question

Se tienen 10 números enteros positivos entre los q puede haber repetidos. Al sumar 9 de ellos de las 10 maneras posibles solo obtenemos 9 valores distintos (uno se repite) : 86,87,88,89,90,91,93,94,95 , ayuda por favor

Answer 1

Sean a,b,c,d,e,f,g,h,i,j tus 10 números

Sea A = a+b+c+d+e+f+g+h+i+j

Las 10 formas posibles de sumar 9 de ellos son:
1. b+c+d+e+f+g+h+i+j = A - a
2. A - b
3. A - c
4. A - d
5. A - e
6. A - f
7. A - g
8. A - h
9. A - i
10. A - j

Sumas todos ellos y obtienes:
10A - a - b - c - d - e - f - g - h - i - j = 10A - A = 9A

Sea x = suma que se repite
9A = 86 + 87 + 88 + 89 + 90 + 91 + 93 + 94 + 95 + x = 813 + x
9A = 813 + x

Aquí debes observar que 813 + x debe ser múltiplo de 9:
813 + x = 810 + 3 + x

810 es múltiplo de 9, así que ahora 3+x debe ser múltiplo también de 9:
86 + 3 = 89 no es múltiplo de 9
87 + 3 = 90 SI es múltiplo de 9
88 + 3 = 91 no es múltiplo de 9
89 + 3 = 92 no es múltiplo de 9
90 + 3 = 93 no es múltiplo de 9
91 + 3 = 94 no es múltiplo de 9
93 + 3 = 96 no es múltiplo de 9
94 + 3 = 97 no es múltiplo de 9
95 + 3 = 98 no es múltiplo de 9

Entonces x = 87 es la suma que se repite, por lo tanto:
9A = 813 + x = 813 + 87 = 900
A = 900/9 = 100

Los números son:
A - a = 100 - a = 86 → a = 14
100 - b = 87 → b = 13
100 - c = 87 → c = 13 
100 - d = 88 → d = 12
100 - e = 89 → e = 11
100 - f = 90 → f = 10
100 - g = 91 → g = 9
100 - h = 93 → h = 7
100 - i = 94 → i = 6
100 - j = 95 → j = 5

Saludos!