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Para el desarrollo del binomio de Newton se pueden aplicar dos procedimientos, uno corresponde al llamado triángulo de Pascal y el otro a la propiamente denominada fórmula del binomio de Newton.
Primero haremos el cálculo de un binomio elevado a cualquier potencia mediante el triángulo de Pascal.
Como recordarás, hemos encontrado el producto notable de un binomio al cuadrado y el de un binomio al cubo mediante el modelo:
A fin de obtener el producto notable de un binomio (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 ; (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 a la cuarta potencia y llegar así al modelo x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4 uno de los caminos que podemos elegir es aplicar el producto notable de un binomio al cuadrado y la multiplicación de polinomios.
(x + y)4 = (x + y)2 (x + y)2 = (x2 + 2xy + y2) (x2 + 2xy + y2) = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4.
Dada la laboriosidad involucrada en el desarrollo para binomios con exponente mayor a 3, presentamos aquí los siguientes productos notables que podrán calcularse por simple inspección.
(x + y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5
(x + y)6 = x6 + 6x5y + 15x4y2 + 20x3y3 + 15x2y4 + 6xy5 + y6
(x + y)7 = x7 + 7x6y + 21x5y2 + 35x4y3 + 35x3y4 + 21x2y5 + 7xy6 + y7
(x + y)8 = x8 + 8x7y + 28x6y2 + 56x5y3 + 70x4y4 + 56x3y5 + 28x2y6 + 8xy7 + y8
Retomando las propiedades de las potencias, recordemos que:
(x + y)1 = 1x + 1y = x + y
(x + y)0 = 1
Si observamos la regularidad y simetría de los coeficientes del desarrollo de los binomios anteriores y los ordenamos en filas, podemos dibujar un triángulo llamado de Pascal. Éste fue descubierto por el físico-matemático francés Blaise Pascal (1623-1662).
Triángulo de Pascal
Explicación paso a paso: