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El aguilón AB de 6m que se muestra en la figura tiene un extremo fijo A. Un cable de acero se estira desde el extremo libre de B del aguilón hasta el punto C ubicado en la pared vertical. Si la tensión en el cable es 3,2kN determine el momento respecto de A de la fuerza ejercida por el cable en B.
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RESOLUCIÓN.
Para resolver este problema hay que seguir los siguientes pasos:
1) Encontrar los ángulos de la fuerza ejercida sobre el punto B.
El ángulo que forma la tensión del cable sobre el eje Y se determina conociendo su componente en Y y la magnitud de la distancia total D.
D = √x² + y² + z²
x = 6 m
y = 2,4 m
z = 4 m
D = √6² + 2,4² + 4²
D = 7,6 m
Con el valor de D y Y se determina el ángulo αy:
Cos(αy) = Y / D
αy = ArcCos(Y/D)
αy = ArcCos(2,4/7,6)
αy = 71,59 º
Ahora con las componentes X y Z se determinan los ángulos αx y αz:
Tg(αx) = Z / X
αx = ArcTg(Z/X)
αx = 33,69 º
αz = 90 - 33,69 = 56,31 º
El ángulo que forma la tensión sobre el eje Y es de 71,59 º y los ángulos formados por la proyección de la tensión sobre plano XZ son de αx = 33,69 º y αz = 56,31 º respectivamente.
2) Se determina el valor de cada componente de la tensión.
T = 3,2 kN
Se determina en primer lugar la componente Y de la tensión usando αy.
Cos(αy) = Ty / T
Ty = T*Cos(αy)
Ty = 3,2*Cos(71,59º)
Ty = 1,01 kN
Ahora se determina el vector proyección de la tensión en el plano XZ haciendo uso del teorema de pitágoras.
T² = Ty² + Txz²
Txz = 3,04 kN
Por último se determinan las componentes Tx y Tz haciendo uso de los ángulos αx y αz.
Cos(αx) = Tx / Txz
Tx = Txz*Cos(αx)
Tx = 2,53 kN
Tz = Txz*Cos(αz)
Tz = 1,68 kN
Los componentes de las tensiones son Tx = 2,53 kN, Ty = 1,01 kN y Tz = 1,68 kN.
3) Determinar el momento efectuado sobre A para cada componente de la tensión.
El momento es definido como:
M = F*p
Dónde:
M es el momento.
F es la fuerza.
p es la distancia.
Mx = Tx*p
My = Ty*p
Mz = Ty*p
Sustituyendo los valores se tiene que:
Mx = 2,53*0 = 0 kNm
My = 1,68*6 = 10,08 kNm
Mz = 1,01*6 = 6,06 kNm
La magnitud de los momentos producidos por la tensión en el punto A son de Mx = 0 kNm, My = 10,08 kNm y Mz = 6,06 kNm
Para resolver este problema hay que seguir los siguientes pasos:
1) Encontrar los ángulos de la fuerza ejercida sobre el punto B.
El ángulo que forma la tensión del cable sobre el eje Y se determina conociendo su componente en Y y la magnitud de la distancia total D.
D = √x² + y² + z²
x = 6 m
y = 2,4 m
z = 4 m
D = √6² + 2,4² + 4²
D = 7,6 m
Con el valor de D y Y se determina el ángulo αy:
Cos(αy) = Y / D
αy = ArcCos(Y/D)
αy = ArcCos(2,4/7,6)
αy = 71,59 º
Ahora con las componentes X y Z se determinan los ángulos αx y αz:
Tg(αx) = Z / X
αx = ArcTg(Z/X)
αx = 33,69 º
αz = 90 - 33,69 = 56,31 º
El ángulo que forma la tensión sobre el eje Y es de 71,59 º y los ángulos formados por la proyección de la tensión sobre plano XZ son de αx = 33,69 º y αz = 56,31 º respectivamente.
2) Se determina el valor de cada componente de la tensión.
T = 3,2 kN
Se determina en primer lugar la componente Y de la tensión usando αy.
Cos(αy) = Ty / T
Ty = T*Cos(αy)
Ty = 3,2*Cos(71,59º)
Ty = 1,01 kN
Ahora se determina el vector proyección de la tensión en el plano XZ haciendo uso del teorema de pitágoras.
T² = Ty² + Txz²
Txz = 3,04 kN
Por último se determinan las componentes Tx y Tz haciendo uso de los ángulos αx y αz.
Cos(αx) = Tx / Txz
Tx = Txz*Cos(αx)
Tx = 2,53 kN
Tz = Txz*Cos(αz)
Tz = 1,68 kN
Los componentes de las tensiones son Tx = 2,53 kN, Ty = 1,01 kN y Tz = 1,68 kN.
3) Determinar el momento efectuado sobre A para cada componente de la tensión.
El momento es definido como:
M = F*p
Dónde:
M es el momento.
F es la fuerza.
p es la distancia.
Mx = Tx*p
My = Ty*p
Mz = Ty*p
Sustituyendo los valores se tiene que:
Mx = 2,53*0 = 0 kNm
My = 1,68*6 = 10,08 kNm
Mz = 1,01*6 = 6,06 kNm
La magnitud de los momentos producidos por la tensión en el punto A son de Mx = 0 kNm, My = 10,08 kNm y Mz = 6,06 kNm
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