Respuestas
Respuesta:Un niño golpea una pelota de 500 gramos de manera que, sale despedida
con una velocidad de 12 m/s desde una altura de 1´5 m sobre el suelo. Se
pide : a) Fuerza o fuerzas que actúan sobre la pelota después de haber sido
lanzada, cuando sube, cuando alcanza el punto más alto y cuando baja. b)
Altura máxima alcanzada y tiempo que tarda en llegar al suelo en el caso
del lanzamiento vertical y cuando la velocidad inicial forma ángulo de 35º
con la horizontal. c) En el caso del lanzamiento vertical, si el golpe ha
durado 0´1 s ¿ con qué fuerza interacciona el niño con la pelota
suponiéndola constante?. d) Haz un análisis de lo que ocurre con la energía
en todas las fases del proceso. Tómese g = 10 m/s2
.
a) Después del golpe, con la mano del niño, la única fuerza que actúa sobre
la pelota es su propio peso debido a la interacción con la Tierra. Esto ocurre
cuando sube, en el punto más alto y cuando baja hasta que llega al suelo
con el que interacciona. Durante el golpe, la situación es distinta , pues
además del peso actúa la fuerza con la que interaccionan la pelota y la
mano del niño.
b) Para saber la altura máxima alcanzada y el tiempo que tarda en llegar al
suelo, vamos a hacer un estudio cinemático del movimiento en cada caso
para lo cual estableceremos un sistema de coordenada xy con el eje “x”
horizontal y el eje “y” vertical, tal y como indica la figura. En principio, la
altura máxima alcanzada en el lanzamiento parece depender de la velocidad
inicial del mismo y del ángulo del lanzamiento. Si la única fuerza que actúa
sobre la pelota es su propio peso, su aceleración será:
F = ma = mg a=g a uy
r r = −10
Considerando el lanzamiento vertical , la velocidad inicial vendrá dada, en
nuestro sistema de coordenadas como:
uy v
r r 0 = 12 como, sólo hay movimiento a lo largo del eje y ,
tendremos, que, la velocidad instantánea vendrá dada por :
v = vy = 12 – 10t ya que a = ay = -10 m/s2
Y la posición instantánea vendrá dada por :
y= 1´5+ 12t – ½ 10 t2
ya que y0= 1´5 m
En este caso del lanzamiento vertical (a lo largo del eje “y”), la pelota
alcanzará la máxima altura cuando su velocidad sea cero, por tanto, esto
ocurrirá a los :
0 = 12 –10t t = 1´2 s y, entonces su posición será
y = 1´5 + 12. 1´2 – 5 . 1´22
y = 8´7 m
y, el tiempo que tardará en llegar al suelo, será cuando y =0 por tanto:
0 = 1´5 + 12.t´- 5t´2
de donde t´= 2´52 s y, la velocidad con la que
llegará al suelo será v = vy = 12 – 10 . 2´52 = - 13´2 m/s
Consideremos ahora, el caso del lanzamiento de la pelota formando un
ángulo de 35º con la horizontal ( es decir con el eje x de nuestro sistema de
coordenadas). La velocidad inicial de 12 m/s , tendrá dos componentes, una
a lo largo del eje “x” , y otra a lo largo del eje “y”. Estas componentes
serán :
x ux ux ux v v r r r r 0 = 0 cos35º = 12cos35º = 9´83 v0x= 9´83 m/s
y y uy uy v v sen u sen r r r r 0 = 0 35º = 12 35º = 6´88 v0y= 6´88 m/s
Y, recordemos que la aceleración sólo tiene componente “y”
a ay uy
r r r = = −10
Con lo cual, el movimiento a lo largo del eje “x” será uniforme ( sin
aceleración) y, el movimiento a lo largo del eje “y” será uniformemente
acelerado. Las ecuaciones de la velocidad instantánea y de la posición a lo
largo de ambos ejes será:
Eje “x” vx = v0x= 9´83 m/s constante
x = vx t = 9´83 t
Eje “y” vy= v0y+ayt = 6´88 – 10 t
y = y0 + v0yt + ½ ayt
2
= 1´5 +6´88 t – ½ 10 t2
En este caso, para alcanzar la altura máxima ( máximo valor de la
coordenada “y”) debe hacerse cero la velocidad a lo largo del eje de las
“y”, luego, esto ocurrirá cuando:
a
v
Eje x
Eje y
ux
uy
0 = 6´88 –10 t t = 0´69 s
y, la altura máxima alcanzada será:
ymax= 1´5 + 6´88 . 0´69 – 5 . 0´692
= 3´87 m
A esa altura, la velocidad será v = vx = 9´83 m/s
Y, el tiempo que tardará en llegar al suelo, significa hacer la coordenada
“y” de la posición de la pelota cero . Así :
0 = 1´5 + 6´88 t – 5 t2
de donde t = 1´57 s
y, incidirá sobre el suelo a una distancia del niño de :
x = 9´83 . 1´57 = 15´43 m
Para comprobar las previsiones que habíamos hecho sobre la altura
máxima alcanzada en el tiro, utilizaremos las expresiones generales que
establecimos para la coordenada “y” y la velocidad “vy”.
y = y0+v0yt- ½ g t2
= y0+v0 senα. t - ½ g t2
vy = v0y- g t = v0 sen α – g t
Como, alcanzar la altura máxima supone hacer vy=0 , el tiempo en el que
esto ocurre, será :
g
v sen
t 0 α = g
v sen
y
g
gv sen
g
v sen
y y .2 2
2 2
0
2 0
2 2
0
2 2
0
max 0
α α α = + − = +