Question

Ejercicio 4B . Calificación máxima: 2 puntos.

Dada la matriz
A =
3 1
1 0


Hallar todas las matrices

B =
a b
c d

que conmutan con A, es decir que cumplen AB = BA.

Prueba selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2014-2015. Matemáticas II.

Answer 1

En primer lugar hay que determinar tanto los productos entre AB como BA, como sigue:

 

AB = (3 1) *  (a b)  = (3a + c    3b + d)

         (1 0)     (c d)     (    a             b  )

 

BA = (a b)  * (3 1) = (3a + b       a)

         (c d)     (1 0)    (3c + d       c)

 

Como se desea que AB = BA se iguala cada elemento de la matriz AB con su correspondiente elemento en la matriz BA. El sistema de ecuaciones queda:

 

3a + c = 3a + b

 

a = 3b + d

 

a = 3c + d

 

b = c

 

Como b = c, entonces la segunda y la tercera ecuación son linealmente dependientes, por lo tanto se descarta cualquiera de las ecuaciones, por lo tanto el sistema se reduce a:

 

a = 3b + d

 

b = c

 

Como son dos ecuaciones con 4 incógnitas, se concluye que se deben conocer dos valores (a o d, b o c) para conocer a los 2 restantes.

 

Prueba selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2014-2015. Matemáticas II.