Ejercicio 2 . Calificación máxima: 3 puntos.
La recta r pasa por P(2, −1, 0) y tiene vector director (1, λ, −2); la recta s pasa por Q(1, 0, −1) y tiene
vector director (2, 4, 2).
a) (2 puntos) Calcular λ > 0 para que la distancia entre r y s sea 9/√59
.
b) (1 punto) Calcular λ para que r sea perpendicular a la recta que pasa por P y Q.
Prueba selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2014-2015. Matemáticas II.
Respuestas
a) Calcular λ > 0 para que la distancia entre r y s sea 9/√59.
La ecuación que permite determinar la distancia entre dos rectas es:
dr = |QP . (D1xD2)| / |D1xD2|
Dónde:
dr es la distancia entre las rectas.
QP es el vector formado por los puntos de las rectas.
D1 es el director de la recta 1.
D2 es el director de la recta 2.
Primero se determina QP:
QP = P - Q = (2, -1, 0) – (1, 0, -1) = (1, -1, 1)
Siguiente se determina el producto vectorial entre los vectores directores de las rectas:
| i j k |
D1xD2 = | 1 λ -2 |
| 1 0 -1 |
D1xD2 = [(λ)(-1) – (0)(-2)]*i – [(1)(-1) – (1)(-2)]*j + [(1)(0) –(1)(λ)]*k
D1xD2 = -λi – j – λk = (-λ, -1, -λ)
Ahora se determina el módulo de D1xD2:
|D1xD2| = √λ^2 + 1 +λ^2 = √2λ^2 + 1
Se determina el producto escalar entre QP y D1xD2:
QP . D1xD2 = (1, -1, 1) . (-λ, -1, -λ) = - λ + 1 – λ = 1 - 2λ
Ahora se sustituyen los valores en la ecuación de la distancia:
9 / √59 = |1 - 2λ| / |√2λ^2 + 1|
(2λ^2 + 1) / 59 = (1 - 2λ)^2 / 81
81*(2λ^2 + 1) = 59*(1 - 4λ + 4λ^2)
162λ^2 + 81 = 59 – 236λ + 236λ^2
74λ^2 - 236λ - 22 = 0
λ1 = 3,28
λ2 = - 0,091
b) Calcular λ para que r sea perpendicular a la recta que pasa por P y Q.
La condición para resolver este problema es la de tener entre los vectores directores de las rectas un producto escalar igual a cero.
El vector director de la recta formada por P y Q es QP = (1, -1, 1) y el vector director de r es D1 = (1, λ, −2), por lo que el producto escalar queda:
QP . D1 = 0
(1, -1, 1) . (1, λ, −2) = 0
1 – λ - 2λ = 0
1 - 3λ = 0
λ = 1/3
Prueba selectividad para la comunidad de Madrid. Convocatoria Jun 2014-2015. Matemáticas II.