Question

Ejercicio 4 . Calificación máxima: 2 puntos. Dadas las matrices A = ( 1 2 3 0 t 2 3 −1 t ) e I = (1 0 0 0 1 0 0 0 1 ),se pide:
a) (1025 puntos) Hallar el rango de A en función de t.
b) (0075 puntos) Calcular t para que det(A − tI) = 0.
PRUEBA DE SELECTIVIDAD MADRID CONVOCATORIA JUN 2014-2015 MATEMATICA II. Ayuda por favor

Answer 1

Acá te dejo la solución para el ejercicio 4 de la prueba de selectividad Madrid convocatoria Jun 2014 - 2015 de Matematica II:

Nos dan como información base las siguientes matrices:

$A = \left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\0&t&2\\3&-1&t\end{array}\right]$ 

$I = \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]$

a) Para poder hallar cual es el rango de la matriz A en función t debemos conocer primero cual es el determinante

Det(A) = t² + 12 - (9t - 2) = t² - 9t + 14

Resolvemos la ecuación de segundo grado para conocer los posibles valores de t:

t = 7       y       t = 2

Si t≠7 y t≠2  |A| ≠ 0 ∴ Rango(A) = 3.

Si t = 7,

$A = \left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\0&7&2\\3&-1&7\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}1&2\\0&7\\\end{array}\right] = 7$ ≠ 0 Rango (A) = 2

Si t = 2

$A = \left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\0&2&2\\3&-1&2\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{cc}1&2\\0&2\\\end{array}\right] = 2$ ≠ 0 Rango (A) = 2


b) Ahora nos piden calcular el cual es el determinante de (A- t.I):

$(A - t.I) = \left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\0&t&2\\3&-1&t\end{array}\right] - \left[\begin{array}{ccc}t&0&0\\0&t&0\\0&0&t\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1-t&2&3\\0&0&2\\3&-1&0\end{array}\right]$

det(A - t.I) = - 2 (-7 + t) 

Para que el determinante sea igual a 0 t = 7.