Ejercicio 4 . Calificación máxima: 2 puntos. Dadas las matrices A = ( 1 2 3 0 t 2 3 −1 t ) e I = (1 0 0 0 1 0 0 0 1 ),se pide:
a) (1025 puntos) Hallar el rango de A en función de t.
b) (0075 puntos) Calcular t para que det(A − tI) = 0.
PRUEBA DE SELECTIVIDAD MADRID CONVOCATORIA JUN 2014-2015 MATEMATICA II. Ayuda por favor
Respuestas
Respuesta dada por:
2
Acá te dejo la solución para el ejercicio 4 de la prueba de selectividad Madrid convocatoria Jun 2014 - 2015 de Matematica II:
Nos dan como información base las siguientes matrices:
![I =
\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]
I =
\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=I+%3D%0A%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D1%26amp%3B0%26amp%3B0%5C%5C0%26amp%3B1%26amp%3B0%5C%5C0%26amp%3B0%26amp%3B1%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%0A)
a) Para poder hallar cual es el rango de la matriz A en función t debemos conocer primero cual es el determinante
Det(A) = t² + 12 - (9t - 2) = t² - 9t + 14
Resolvemos la ecuación de segundo grado para conocer los posibles valores de t:
t = 7 y t = 2
Si t≠7 y t≠2 |A| ≠ 0 ∴ Rango(A) = 3.
Si t = 7,
![A =
\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\0&7&2\\3&-1&7\end{array}\right]
A =
\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\0&7&2\\3&-1&7\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=A+%3D%0A%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D1%26amp%3B2%26amp%3B3%5C%5C0%26amp%3B7%26amp%3B2%5C%5C3%26amp%3B-1%26amp%3B7%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%0A)
≠ 0
Rango (A) = 2
Si t = 2
![A =
\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\0&2&2\\3&-1&2\end{array}\right]
A =
\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\0&2&2\\3&-1&2\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=A+%3D%0A%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D1%26amp%3B2%26amp%3B3%5C%5C0%26amp%3B2%26amp%3B2%5C%5C3%26amp%3B-1%26amp%3B2%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%0A)
≠ 0
Rango (A) = 2
b) Ahora nos piden calcular el cual es el determinante de (A- t.I):
![(A - t.I) =
\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\0&t&2\\3&-1&t\end{array}\right]
-
\left[\begin{array}{ccc}t&0&0\\0&t&0\\0&0&t\end{array}\right]
= \left[\begin{array}{ccc}1-t&2&3\\0&0&2\\3&-1&0\end{array}\right]
(A - t.I) =
\left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\0&t&2\\3&-1&t\end{array}\right]
-
\left[\begin{array}{ccc}t&0&0\\0&t&0\\0&0&t\end{array}\right]
= \left[\begin{array}{ccc}1-t&2&3\\0&0&2\\3&-1&0\end{array}\right]](https://tex.z-dn.net/?f=%28A+-+t.I%29+%3D%0A%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D1%26amp%3B2%26amp%3B3%5C%5C0%26amp%3Bt%26amp%3B2%5C%5C3%26amp%3B-1%26amp%3Bt%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%0A-%0A%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7Dt%26amp%3B0%26amp%3B0%5C%5C0%26amp%3Bt%26amp%3B0%5C%5C0%26amp%3B0%26amp%3Bt%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%0A%3D+%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bccc%7D1-t%26amp%3B2%26amp%3B3%5C%5C0%26amp%3B0%26amp%3B2%5C%5C3%26amp%3B-1%26amp%3B0%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%0A)
det(A - t.I) = - 2 (-7 + t)
Para que el determinante sea igual a 0 t = 7.
Nos dan como información base las siguientes matrices:
a) Para poder hallar cual es el rango de la matriz A en función t debemos conocer primero cual es el determinante
Det(A) = t² + 12 - (9t - 2) = t² - 9t + 14
Resolvemos la ecuación de segundo grado para conocer los posibles valores de t:
t = 7 y t = 2
Si t≠7 y t≠2 |A| ≠ 0 ∴ Rango(A) = 3.
Si t = 7,
Si t = 2
b) Ahora nos piden calcular el cual es el determinante de (A- t.I):
det(A - t.I) = - 2 (-7 + t)
Para que el determinante sea igual a 0 t = 7.
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