Question

Una progresión geométrica de razón positiva consta de 4 términos. Sabiendo que
la suma de los primeros es 8 y que la suma correspondiente de los últimos es 72.
Hallar la progresión.
ayuda porfavor

Answer 1

La progresión geométrica es 2, 6, 18, 54.

Explicación paso a paso:

El término general de una progresión geométrica, donde r es la razón y $a_0$ es el primer término es:

$a_n=a_0.r^n$

Con lo cual, si la progresión consta de 4 términos, la suma de los primeros términos es:

$a_0+a_1=8\\a_0.n^0+a_0.n^1=8\\\\a_0+a_0.n=8\\\\a_0(1+n)=8$

Y también tenemos la suma de los 2 últimos términos cuyo resultado es 72 es:

$a_2+a_3=72\\a_0.n^2+a_0.n^3=72\\\\a_0(n^2+n^3)=72\\\\a_0.n^2(1+n)=72$

Ahora podemos reemplazar en esta última expresión la suma de los dos primeros términos:

$a_0(1+n).n^2=72\\\\a_0(1+n)=8=>8.n^2=72\\\\n^2=\frac{72}{8}=9\\\\n=3$

Y el primer término es:

$a_0(1+n)=8\\\\a_0=\frac{8}{1+n}=\frac{8}{1+3}=2$

Con lo cual la progresión queda:

$a_0=2\\a_1=a_0.n^1=2.3^1=6\\a_2=a_0.n^2=2.3^2=18\\a_3=a_0.n^3=2.3^3=54$