Question

Resuelvan en R las ecuaciones que se dan,
en las que a ∈ Z es fijo a ≠ 0. Estudien la
existencia de raíces reales en función de a.
a) 5x^2 - 5a^2 = 0.
b)2x^2 - 2ax - 12a^2 = 0
c)2x^2 + (2a^2 + 5)x + 5a^2 = 0
d)2x^2 + (4ax^2 - 3)x - 6a^2 = 0

Answer 1

La ecuación de los puntos A, B y C siempre tienen dos raíces reales.

La ecuación del punto D siempre tiene una raíz real y dos raíces complejas conjugadas.

Explicación paso a paso:

Si consideramos que el valor 'a' es un número entero distinto de cero tenemos:

a)

$5x^2-5a^2=0\\x^2-a^2=0\\x=\sqrt{a^2}=\ña$

Con lo cual esta ecuación siempre tendrá raíces reales.

b) En este caso, como tenemos una ecuación cuadrática completa, podemos evaluar el discriminante para determinar si tiene raíces reales:

$d=\sqrt{b^2-4ac}=\sqrt{(-2a)^2-4.2.(-12a^2)}=\sqrt{4a^2+96a^2}=\sqrt{100a^2}\\\\d=10a$

Con lo cual siempre tendrá raíces reales. Estas serán:

$x=\frac{-b\ñd}{2a}=\frac{2a\ñ10a}{2.2}=\frac{2a\ñ10a}{4}\\\\x=3a\\x=-2a$

c) En este caso también vamos a evaluar el discriminante para determinar si la ecuación tiene raíces reales:

$d=\sqrt{b^2-4ac}=\sqrt{(2a^2+5)^2-4.2.5a^2}\\\\d=\sqrt{4a^4+20a^2+25-40a^2}=\sqrt{4a^4-20a^2+25}$

La ecuación no tendrá raíces reales si el polinomio del radicando es negativo. Lo podemos transformar en una ecuación cuadrática al hacer $u=a^2$ y queda:

$4u^2-20u+25=0\\\\u=\frac{20\ñ\sqrt{20^2-4.4.25}}{2.4}=\frac{20\ñ\sqrt{400-400}}{8}=\frac{20}{8}$

$a=\sqrt{u}=\ñ\sqrt{\frac{20}{8}}$

Es una raíz real doble y además el coeficiente de mayor grado es positivo, por lo que el polinomio del radicando siempre es positivo, si es $a=\ñ\sqrt{\frac{20}{8}}$, la ecuación tendrá una raíz real doble, y en los demás casos tendrá dos raíces reales. Como 'a' tiene que ser entero, la ecuación tendrá siempre dos raíces reales.

d) Desarrollando el polinomio queda:

$2x^2+(4ax^2-3)x-6a^2=0\\\\4ax^3+2x^2-3x-6a^2=0$

En este caso las posibilidades son tener tres raíces reales o una raíz real y dos raíces complejas conjugadas. En este caso no hay una solución analítica, debemos probar graficando la función con distintos valores de 'a'. En la imagen adjunta tenemos los gráficos con a=-1, a=1, a=2 y a=3.

Donde vemos que para valores negativos la función no tiene "joroba" y a partir de a=1, la "joroba" tiende a estar más abajo. Entonces la función siempre tendrá una raíz real y dos raíces complejas.

Answer 2

Respuesta:

Explicación paso a paso: