Question

Determinar la ecuación general de una circunferencia tangente a la recta 2x-3y+5=0 y está centrada en el punto (-1, -2).

Answer 1

Bueno, el punto (-1,-2) es el centro ¿verdad? de la circuenferencia, y tiene que ser tangente a la recta, entonces ...el radio es la distancia del centro a la recta tangente...y es perpendicular...entonces podemos usar la fórmula de distancia entre punto y recta, entonces,

$d(P,r)=\displaystyle\frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$

donde A,B y C son los coeficientes de la recta que acompañan a cada variable, y (x,y) son las coordenadas del punto.

Identificamos A=2 B=-3 y C=5 y (x,y)=(-1,-2) entonces,

$d(P,r)=\displaystyle\frac{|(2)(-1)+(-3)(-2)+(5)|}{\sqrt{(2)^{2}+(-3)^{2}}}=\frac{|9|}{\sqrt{13}}=\frac{9\sqrt{13}}{13}\approx2,5=\frac{5}{2}$

ya tenemos el radio, y el centro, entonces la ecuación de la cirncuenferencia con centro distinto del origen,

$\displaystyle(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2} \\ (x-(-1))^{2}+(y-(-2))^{2}=\left(\frac{5}{2}\right)^{2} \\ (x+1)^{2}+(y+2)^{2}=\frac{25}{4}$

aquí tienes la ecuación ordinaria de la ecuación si quieres la general solo hay que desarrollar la ecuación...

$\displaystyle x^{2}+2x+1+y^{2}+4y+4=\frac{25}{4} \\ x^{2}+y^{2}+2x+4y=\frac{25}{4}-5 \\ x^{2}+y^{2}+2x+4y-\frac{5}{4}=0$

y esa sería la solución...

Answer 2

La ecuación de la circunferencia que tiene un recta tangente 2x - 3y + 5 = 0 y centro (-1,-2) es (x + 1)² + (y + 2)² = (81/13)

La circunferencia es tangente a la recta 2x - 3y + 5 = 0, entonces tenemos que como el centro es (-1,-2) tenemos que el radio es la distancia de la recta al centro, entonces el radio es:

|2*(-1) - 3(-2) + 5|/(√(2² + (-3)²)) = |-2 + 6 + 5|/√(4 + 9) = 9/√13 = 9√13/13 U

Luego, tenemos que la ecuación de la circunferencia es igual a:

(x + 1)² + (y + 2)² = (9/√13)²

(x + 1)² + (y + 2)² = (81/13)

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