Question

Me ayudan por favor doy 30 puntos

Answer 1

$\log _{15}\left(x\right)=10^0$
$\mathrm{Aplicar\:las\:propiedades\:de\:los\:logaritmos}:\quad \:a=\log _b\left(b^a\right)$
$10^0=\log _{15}\left(15^{10^0}\right)=\log _{15}\left(15\right)$
$\log _{15}\left(x\right)=\log _{15}\left(15\right)$
$log _b\left(f\left(x\right)\right)=\log _b\left(g\left(x\right)\right)\quad \Rightarrow \quad f\left(x\right)=g\left(x\right)$
$x=15$

$\log _5\left(x\right)=-2$
$\mathrm{Aplicar\:las\:propiedades\:de\:los\:logaritmos}:\quad \:a=\log _b\left(b^a\right)$
$-2=\log _5\left(5^{\left(-2\right)}\right)=\log _5\left(\frac{1}{25}\right)$
$x=\frac{1}{25}$
$\left(\mathrm{Decimal:\quad }x=0.04\right)$

$\log _x\left(\frac{1}{64}\right)=-3$
$\mathrm{Aplicar\:las\:propiedades\:de\:los\:logaritmos}:\quad \:a=\log _b\left(b^a\right)$
$-3=\log _x\left(x^{\left(-3\right)}\right)=\log _x\left(\frac{1}{x^3}\right)$
$\log _x\left(\frac{1}{64}\right)=\log _x\left(\frac{1}{x^3}\right)$
$\mathrm{Resolver\:}\:\frac{1}{64}=\frac{1}{x^3}:\quad x=4$

$\frac{\log _4\left(16\right)-\log _2\left(8\right)}{\log _{10}\left(100\right)}$
$=\frac{\log _4\left(4^2\right)+\log _2\left(2^3\right)}{\log _{10}\left(10^2\right)}$
$\mathrm{Aplicar\:las\:propiedades\:de\:los\:logaritmos}:\quad \log _a\left(x^b\right)=b\cdot \log _a\left(x\right)$
$=\frac{2\log _4\left(4\right)+3\log _2\left(2\right)}{2\log _{10}\left(10\right)}$
$\mathrm{Aplicar\:las\:propiedades\:de\:los\:logaritmos}:\quad \log _a\left(a\right)=1$
$=\frac{2-3}{2}$
$=-\frac{1}{2}$

$\log _4\left(\log _3\left(81\right)\right)$
$\mathrm{Reescribir\:}81\mathrm{\:utilizando\:potencias:}\quad 81=3^4$
$=\log _3\left(3^4\right)$
$\mathrm{Aplicar\:las\:propiedades\:de\:los\:logaritmos}:\quad \log _a\left(x^b\right)=b\cdot \log _a\left(x\right)$
$\log _3\left(3^4\right)=4\log _3\left(3\right)$
$\mathrm{Aplicar\:las\:propiedades\:de\:los\:logaritmos}:\quad \log _a\left(a\right)=1$
$\log _3\left(3\right)=1$
$=4$
$\mathrm{Aplicar\:las\:propiedades\:de\:los\:logaritmos}:\quad \log _a\left(a\right)=1$
$=1$

$25^{x-1}=\frac{1}{5}$
$\mathrm{Convertir\:}25^{x-1}\mathrm{\:a\:base\:}\frac{1}{5}$
$25^{x-1}=\left(\left(\frac{1}{5}\right)^{-2}\right)^{x-1}$
$\mathrm{Aplicar\:las\:leyes\:de\:los\:exponentes}:\quad \left(a^b\right)^c=a^{bc}$
$\left(\left(\frac{1}{5}\right)^{-2}\right)^{x-1}=\left(\frac{1}{5}\right)^{-2\left(x-1\right)}$
$\mathrm{Si\:}a^{f\left(x\right)}=a^{g\left(x\right)}\mathrm{,\:entonces\:}f\left(x\right)=g\left(x\right)$
$-2\left(x-1\right)=1$
$x=\frac{1}{2}$