Respuestas
El valor de ''n'' es igual a 3, de esta manera la expresión (5·3)ⁿ·(5·2)ⁿ⁺¹ tendrá 160 divisores.
Explicación paso a paso:
Inicialmente tenemos la siguiente expresión:
15ⁿ·10ⁿ⁺¹
Para encontrar la cantidad de divisores descompondremos a las bases, entonces:
(5·3)ⁿ·(5·2)ⁿ⁺¹
Resolvemos los paréntesis y reagrupamos:
5ⁿ · 3ⁿ ·5ⁿ⁺¹ · 2ⁿ⁺¹ = 5²ⁿ⁺¹ · 3ⁿ · 2ⁿ⁺¹
TEORIA: para encontrar la cantidad de divisores se debe sumar la unidad a los exponentes de los factores (del número estudiado) y multiplicar entre sí los resultados obtenidos.
La cantidad de divisores de este número se define como:
d = (2n+ 1 + 1)·(n + 1)·(n + 1 + 1)
La cantidad de divisores del número es de 160, por tanto:
160 = (2n + 2)·(n + 1)·(n + 2)
Procedemos a simplificar y acomodar las expresiones:
160 = 2·(n+1)·(n+1)·(n+2)
160 = 2·(n+1)²·(n+2)
80 = (n+1)²·(n+2)
Descomponemos a 80, entonces:
80 = 2⁴·5 = (n+1)²·(n+2)
De aquí podemos concluir que:
n + 2 = 5
n = 3
Por tanto, el valor de ''n'' viene siendo 3.