- La expresión algebraica: 27x3 + 54x2y + 36xy2 + 8y representa el volumen de un cubo. Escribo como potencia de un binomio el mismo resultado.
Respuestas
Respuesta:
El término “al cubo” se usa para describir un número elevado a una potencia de tres. En geometría, un cubo es una figura de seis lados con todos sus lados iguales; el volumen de un cubo con lado x puede representarse como x3. (¡Observa el exponente!)
Los números al cubo crecen muy rápido. 13 = 1, 23 = 8, 33 = 27, 43 = 64, y 53 = 125.
Antes de ver la factorización de la suma de dos cubos, observemos los factores posibles.
Resulta que a3 + b3 puede factorizarse como (a + b)(a2 – ab + b2). Revisemos estos factores multiplicando.
¿(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3?
(a)(a2 – ab + b2) + (b)(a2 – ab +b2)
Aplica la propiedad distributiva.
(a3 – a2b + ab2) + (b)(a2 - ab + b2)
Multiplica por a.
(a3 – a2b + ab2) + (a2b – ab2 + b3)
Multiplica por b.
a3 – a2b + a2b + ab2 – ab2 + b3
Reorganiza los términos para combinar los términos semejantes.
a3 + b3
Simplifica
¿Viste eso? Cuatro de los términos se cancelaron, dejándonos con el (aparente) binomio simple a3 + b3. Entonces, los factores son correctos.
Puedes usar este patrón para factorizar binomios de la forma a3 + b3, también conocidos como “la suma de cubos.”
La Suma de Cubos
Un binomio de la forma a3 + b3 puede factorizarse como (a + b)(a2 – ab + b2).
Ejemplo:
La forma factorizada de x3 + 64 es (x + 4)(x2 – 4x + 16).
La forma factorizada de 8x3 + y3 es (2x + y)(4x2 – 2xy + y2).
Ejemplo
Problema
Factorizar x3 + 8y3.
x3 + 8y3
Identifica que este binomio sea una suma de cubos: a3 + b3.
a = x, y b = 2y (como 2y • 2y • 2y = 8y3).
(x + 2y)(x2 – x(2y) + (2y)2)
Factoriza el binomio como
(a + b)(a2 – ab + b2), restando a = x y b = 2y en la expresión.
(x + 2y)(x2 – x(2y) + 4y2)
Eleva al cuadrado (2y)2 = 4y2.
Respuesta
(x + 2y)(x2 – 2xy + 4y2)
Multiplica −x(2y) = −2xy (escribiendo primero el coeficiente).
Y es todo. ¡El binomio x3 + 8y3 puede factorizarse como (x + 2y)(x2 – 2xy + 4y2)! Intentemos con otro.
Debes buscar un factor común antes de seguir cualquiera de los patrones de factorización.
Ejemplo
Problema
Factorizar 16m3 + 54n3.
16m3 + 54n3
Saca el factor común 2.
2(8m3 + 27n3)
8m3 y 27n3 son cubos, entonces puedes factorizar 8m3 + 27n3 como la suma de dos cubos: a = 2m, y b = 3n.
2(2m + 3n)[(2m)2 – (2m)(3n) + (3n)2]
Factoriza el binomio 8m3 + 27n3 sustituyendo a = 2m y b = 3n en la expresión (a + b)(a2 – ab + b2).
2(2m + 3n)[4m2 – (2m)(3n) + 9n2]
Eleva al cuadrado: (2m)2 = 4m2 y (3n)2 = 9n2.
Respuesta
2(2m + 3n)(4m2 – 6mn + 9n2)
Multiplica −(2m)(3n) = −6mn.
Factorizar 125x3 + 64.
A) (5x + 64)(25x2 – 125x + 16)
B) (5x + 4)(25x2 – 20x + 16)
C) (x + 4)(x2 – 2x + 16)
D) (5x + 4)(25x2 + 20x – 64)
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Explicación paso a paso:
corona por fis gracias :)