Question

Sea h una función tal que ║h(x) ║ ≤ x² para todo x. Demostrar que h es derivable en 0

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

         Derivabilidad de una función

Recordemos que una función "f" es derivable en un punto "a" si existe la derivada en dicho punto

                      $\lim_{x \to a} \frac{h(x) - h(a)}{x-a}$

Para que esto suceda, deben existir las derivadas laterales, es decir, por izquierda y por derecha

Para este ejercicio usaremos una propiedad del valor absoluto y un lema importante

                        Propiedad del valor absoluto

Sean a,b ∈ R , entonces se cumple que:  

              ║a║ ≤ b       ⇔     -b ≤ a ≤ b

                      Lema del Sandwich

Sean f(x) , g(x) y h(x) 3 funciónes tales que:     f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)  

Supongamos que:  

       $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x)= L$

Entonces:

                    $\lim_{x \to a} g(x)=L$

Vamos al ejercicio

Por hipótesis tenemos que:  

               ║h(x)║ ≤ x²

⇒ ║h(0) ║ ≤ 0

h(x) será derivable en 0 si se cumple lo siguiente:

 $\lim_{x \to 0} \frac{h(x) - h(0)}{x - 0}$

$\lim_{x\to 0} \frac{h(x) - h(0)}{x- 0 } \leq \lim_{x\to 0} \frac{h(x)}{x}$

Está última desigualdad es por hipótesis

Partamos de ║h(x) ║ ≤ x² , por la propiedad del valor absoluto

-x² ≤ h(x) ≤ x²

Dividimos por x en todos los miembros:

$x\leq \frac{h(x)}{x} \leq x$     Para x ≠ 0

Aplicando Lema del sandwich

$\lim_{x \to 0} (-x)\leq \lim_{x \to 0} \frac{h(x)}{x} \leq \lim_{x \to 0} (x)$

Así hemos probado que h(x) es derivable en 0. Ademas

Como:

$\lim_{x \to 0} (-x)= 0$    

$\lim_{x \to 0} x= 0$

Por Lema del Sandwich

$\lim_{x \to 0} \frac{h(x)}{x} =0$

Adjunto la definición de la derivada

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Saludoss