Respuestas
Para que la ecuación sea dimensionalmente correcta, cada término que la contiene debe tener las mismas unidades o dimensiones.
5) Vamos a comprobar si es correcta lo que propone el estudiante.
a) La dimensión de 1/2 es la unidad por ser adimensional : [1/2] = 1.
La dimensión de la masa (m), velocidad (V), la gravedad (g) y la altura (h) son respectivamente :
[m] = kg = M
[V] = [Vo] = m/s = LT ¯¹
[g] = m/s² = LT ¯²
[h] = m = L
Reemplaza en la ecuación:
M . ( LT ¯¹ )² = M . ( LT ¯¹ )² + √( M . LT ¯². L )
ML²T ¯² = ML²T ¯² + √( ML²T ¯²)
Por principio de homogeneidad :
ML²T ¯² = ML²T ¯² = M^(1/2) LT ¯¹
La ecuación no es dimensionalmente correcta, porque M^(1/2) LT ¯¹ no cumple con la igualdad.
b) Las dimensiones de la velocidad (V), la aceleración (a) y el tiempo son respectivamente :
[V] = [Vo] = m/s = LT ¯¹
[a] = m/s² = LT ¯²
[t] = seg = T
Reemplaza :
LT ¯¹ = LT ¯¹ + LT ¯². T²
Por principio de homogeneidad :
LT ¯¹ = LT ¯¹ = LT ⁰
LT ¯¹ = LT ¯¹ = L
La ecuación no es dimensionalmente correcta porque la dimensión de la velocidad ( LT ¯¹ ) no puede ser la misma que la dimensión de longitud (L).
c) Reemplaza dimensiones :
M . LT ¯² = ( LT ¯¹ )²
MLT ¯² = L²T ¯²
No cumple. Se debe tener en cada lado de la igualdad la misma dimensión.
5. En el sistema internacional, las unidades de las magnitudes mencionadas son :
Fuerza : [F] = N ( Newton) = kg.m/s²
Masas : [M] = [m] = kg (kilogramo)
Distancia : [r] = m (metro)
Despejamos la constante de proporcionalidad G :
[G] = [r]². [F] / [M] [m]
Reemplaza unidades :
[G] = m². N / kg . kg
[G] = N m² / kg²
Ese sería la unidad en el sistema internacional, o también :
[G] = L². MLT ¯² / M. M
[G] = L³T ¯² / M