Question

Cual es la ecuación canónica general de la parabola cuyo vértice se ubica en (6,4) y el foco en (6,2)

Answer 1

La ecuación de la parábola en la forma canónica está dada por:

$\large\boxed{ \bold { (x-6 )^2=- 8\ (y-4) }}$

La ecuación de la parábola en la forma general está dada por:

$\large\boxed{ \bold { x^{2} -12x+8y+4= 0 }}$

Solución

Se tiene la parábola con

Vértice: V (6, 4)

Foco: F (6, 2)

Hallamos la ecuación canónica u ordinaria de la parábola con V (6,4) y F (6,2)

Como los valores de x son los mismos empleamos la ecuación de la parábola en su forma canónica- también llamada ordinaria- con vértice fuera del origen  

Para una parábola que se abre hacia arriba o hacia abajo

La cual está dada por:

$\large\boxed{ \bold { (x-h)^2= 4p\ (y-k) }}$  

Hallamos la distancia desde el foco hasta el vértice |p|

Restando la coordenada y del vértice de la coordenada y del foco para hallar p

$\boxed {\bold { p = 2-4 }}$

$\boxed {\bold { p = -2 }}$

Sabemos que el vértice de la parábola dada es:

$\large\boxed {\bold { V (6,4) }}$

$\bold {h = 6}$

$\bold {k = 4}$

Reemplazamos los valores conocidos en la forma: .

$\large\boxed{ \bold { (x-h)^2= 4p\ (y-k) }}$

$\boxed{ \bold { (x-(6) )^2= 4 \ . \ (-2)\ (y- (4)) }}$

$\boxed{ \bold { (x-6 )^2= 4 \ . \ (-2)\ (y- 4) }}$

$\large\boxed{ \bold { (x-6 )^2=- 8\ (y-4) }}$

Habiendo obtenido la ecuación canónica de la parábola

Hallamos la ecuación de la parábola en la forma general

La forma general de la ecuación de una parábola que abre hacia arriba o hacia abajo, también llamada parábola vertical esta dada por:

$\large\boxed {\bold {A x^{2}+ Bx+ Cy+ D = 0 }}$

Donde la ecuación general de una parábola se obtiene a partir de su ecuación en la forma canónica u ordinaria, desarrollando el binomio  y simplificando la expresión

$\boxed{ \bold { (x-6 )^2= -8\ (y-4) }}$

$\boxed{ \bold { (x-6 )\ (x-6)= -8\ (y-4) }}$

$\boxed{ \bold { x^{2} -6x-6x+36= -8\ (y-4) }}$

$\boxed{ \bold { x^{2} -12x+36= -8\ (y-4) }}$

$\boxed{ \bold { x^{2} -12x+36+8\ (y-4)= 0 }}$

$\boxed{ \bold { x^{2} -12x+36+8y-32= 0 }}$

$\boxed{ \bold { x^{2} -12x+8y+36-32= 0 }}$

$\large\boxed{ \bold { x^{2} -12x+8y+4= 0 }}$

Habiendo hallado la ecuación general de la parábola

Se agrega gráfico