Respuestas
Las respuestas de los problemas seleccionados son:
11) Sea el triángulo ABC, rectángulo en C y sean a, b y c los lados opuestos a los ángulos A, B, C; con b = 12 y c = 13, calcular las razones trigonométricas de los ángulos A y B.
Como es un triángulo rectángulo y el lado c representa la hipotenusa, entonces de acuerdo al Teorema de Pitágoras se tiene:
c² = a² + b²
Se despeja a.
a =√c² – b² = √(13)² – (12)² = √169 – 144 = √25
a = 5
Sea A el ángulo en el vértice A Y b el ángulo en el vértice b, entonces las Razones Trigonométricas son:
• Seno A = Cateto Opuesto/hipotenusa
Seno A = a/c
Seno A = 5/13 = 0,3846
• Coseno B = Cateto Adyacente/Hipotenusa
Coseno B = a/c
Coseno B = 5/13 = 0,3846
• Tangente B = Cateto Opuesto/Cateto Adyacente
Tangente B = b/a
Tangente B = 12/5 = 2,4
12) La base de un triángulo isósceles mide 42 cm. Si la altura mide 0,37 m, calcula el valor de los ángulos de la base.
Se traza la altura o mediana desde el vértice superior isósceles contra la base y se forma un triángulo rectángulo y el lado igual representa la hipotenusa.
C = √(h)² + (42 cm/2)²
C = √(37 cm)² + (21 cm)² = √1369 cm² + 441 cm² = √1810 cm²
C = 42,54 cm
Se plantea la Ley de los Senos.
42,54 cm/Sen 90° = 37 cm/Sen α = 21 cm/Sen β
Sen α = (37 cm/42,54 cm) Sen 90°
Sen α = 0,8698
Luego el ángulo α que es idéntico al otro lado de la base es:
α = Arco Seno 0,8698
α = 60,43°
13) Un árbol de 12,5 metros de altura proyecta una sombra de 218 centímetros ¿Cuál es el ángulo que forma el Sol con el horizonte?
Altura = 12,5 m
Sombra = 218 cm = 2,18 m
El ángulo (θ) se obtiene mediante la Razón Trigonométrica Tangente.
Tan θ = Cateto Opuesto/Cateto Adyacente
Tan θ = 12,5 m/2,18 m
Tan θ = 5,7340
Para halla el ángulo se aplica el Arco Tangente.
θ = ArcTan 5,7340
θ = 80,10°
14) Un pino proyecta una sombra de 482 pies de largo. ¿Si el ángulo de elevación del sol es de 35,6°se puede decir que la altura del árbol es? Expresa la altura en metros.
Se plantea la función Tangente del ángulo.
Tan 35,6° = Altura del pino/Sombra
Altura del pino = Sombra x Tan 35,6°
Altura del pino = 482 pies x 0,7159
Altura del pino = 345,07 pies
Expresada en metros se tiene:
1 pie → 0,3048 metros
345,07 pies → x
X = (345,07 pie x 0,3048 m)/1 pie
X = 105,17 m
La altura del pino es de 345,07 pies que equivalen a 105,17 metros.
15) Desde un punto sobre el suelo a 500 pies de la base de un edifico, un observador encuentra que el ángulo de elevación hasta la parte superior del edificio de de 24° y que el ángulo de elevación a la parte superior de una asta de bandera sobre el edificio es 27°. Determine la longitud de la asta y la altura del edificio.
Se plantea la función Tangente para el ángulo hallar ambas alturas.
Tan 24° = h/500 pies
Despejando h, que es la altura del edificio.
h = 500 pies Tan 24°
h = 500 pies x 0,4452
h = 222,61 pies.
La altura del edificio es de 222,61 pies.
La altura hasta el tope de la asta de la bandera se obtiene de manera similar.
Tan 27° = k/500 pies
k = 500 pies Tan 27°
k = 500 x 0,5095
k = 254,76 pies
La altura de la asta de la bandera es:
Altura de la asta = k - h
Altura de la asta = 254,76 pies – 222,61 pies
Altura de la asta = 32,15 pies