Question

ayuda en Álgebra con resolución, gracias de antemano

Answer 1

Bueno, no es muy complicado, nos pide hacer:

$\displaystyle P\left( \sqrt{\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{1}{2}+...} } } \right)$

ésto significa que debemos reemplazar éste valor, en el polinomio, es decir,

$\displaystyle P\left( \sqrt{\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{1}{2}+...} } } \right)=\\\\\\\left( \sqrt{\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{1}{2}+...} } } \right)^{4}-\left( \sqrt{\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{1}{2}+...} } } \right)^{2}-... \\ \\ \\ ... \left( \sqrt{\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{1}{2}+...} } } \right)$

ahora, debemos aplicar las leyes de exponentes,  $\displaystyle\sqrt[n]{x^{m}} =x^{\frac{m}{n}},\hspace{3mm}$ entonces. podemos hacer lo siguiente,

$\displaystyke\left(\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{1}{2}+...} } \right)^{\frac{4}{2}=2}-\left( \frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{1}{2}+...} } \right)^{\frac{2}{2}=1}-... \\ \\ \\ ... \left( \sqrt{\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{1}{2}+...} } } \right)$

para el primer paréntesis, es un binomio al cuadrado...es decir,

$\displaystyke\left(\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{1}{2}+...} } \right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\sqrt{\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{1}{2}+...}}\right)+\left(\sqrt{\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{1}{2}+...}}\right)^{2}$

entonces, nos quedaría,

$\displaystyle\frac{1}{4}+ \sqrt{\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{1}{2}+...} } +\left(\sqrt{\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{1}{2}+...}}\right)^{2}-\left(\sqrt{\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{1}{2}+...}}\right)^{2}-... \\ \\ \\ ...-\left(\sqrt{\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{1}{2}+...}}\right)$

y se simplfican...¿verdad?, entonces,

$P\displaystyle\left(\sqrt{\frac{1}{2}+ \sqrt{\frac{1}{2}+...}}\right)=\frac{1}{4}$

y eso sería todo