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Introducción
Una ecuación lineal puede expresarse en la forma . En esta ecuación, x y y son coordenadas de un punto, m es la pendiente y b es la coordenada y de la intersección en y. Ya que esta ecuación describe una recta en términos de su pendiente y su intersección en y, se dice que esta ecuación está en su forma pendiente-intersección. Cuando trabajamos con estas relaciones lineales, la forma pendiente-intersección nos ayuda a traducir entre la gráfica de una recta y la ecuación de una recta.
Forma Pendiente-Intersección
La gráfica siguiente representa cualquier recta que puede escribirse en la forma pendiente-intersección. Tiene dos barras deslizantes que pueden manipularse. La barra etiquetada como m te permite ajustar la pendiente o inclinación, de la recta. La barra etiquetada como b cambia la intersección en y. Intenta deslizando cada barra de un lado a otro y ve cómo afecta a la recta.
Seguramente notaste que cambiando el valor de m puede mover la recta de horizontal a casi vertical y entre cada pendiente. Conforme m, la pendiente, aumenta, la recta se hace más empinada. Cuando el valor absoluto de m se acerca a cero, la pendiente se aplana.
Cambiar los valores de b mueven la recta en el plano de coordenadas. Una intersección en y positiva significa que la recta cruza el eje y por encima del origen, mientras que una intersección en y negativa significa que la recta cruza por debajo del origen.
Con sólo cambiar los valores de m y b, puedes definir cualquier recta. Así de poderosa y versátil es la fórmula de la pendiente-intersección.
Ahora que entiendes la forma pendiente-intersección, puedes ver la gráfica de una recta y escribir su ecuación con sólo identificar la pendiente y la intersección en y a partir de la gráfica. Intentemos con esta recta.
Para esta recta, la pendiente es y la intersección en y es 4. Si pones esos valores en la forma pendiente-intersección, y = mx + b, obtienes la ecuación .
Sustituye la intersección en y (b) en la ecuación.
Si conoces la pendiente de una recta y un punto en la recta, puedes dibujar una gráfica. Entonces usando una ecuación en la forma pendiente-intersección, puedes fácilmente identificar la pendiente y un punto. Considera la ecuación . Puedes obtener de la ecuación que la intersección en y está en (0, −1). Empieza graficando ese punto, (0, −1), en la gráfica.
Es posible usar la forma pendiente-intersección para ayudarnos a escribir la ecuación de una recta cuando conocemos la pendiente (m) y la intersección en y (b), pero ¿qué si conoces la pendiente y cualquier otro punto en la recta, no necesariamente la intersección en y? ¿También puedes escribir la ecuación? La respuesta es sí, pero necesitarás poner un poco más de trabajo que antes.
Recuerda que un punto es un par coordenado (x, y) y que todos los puntos en la recta satisfacen la ecuación lineal Entonces, si tienes un punto en la recta, debe ser una solución de la ecuación. Aunque aún no conozcas la ecuación, sabes que puedes expresar la recta en la forma pendiente-intersección y = mx + b.
Conoces la pendiente (m), pero no conoces el valor de la intersección en y (b). Como el punto (x, y) es una solución de la ecuación, ¡puedes sustituir sus coordenadas para x y y en y = mx + b t resolverla para encontrar b!
Esto parece un poco confuso con todas las variables, pero un ejemplo con una pendiente y un punto te ayudará a entender mejor.
Dos puntos en la recta
Supongamos que no conoces ni la pendiente ni la intersección en y, pero conoces la localización de dos puntos en la recta. Es más difícil, pero puedes encontrar la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos. Usarás de nuevo la forma pendiente-intersección para ayudarte.
La pendiente de una ecuación lineal es siempre la misma, no importa que par de puntos usas para encontrarla. Como tienes dos puntos, puedes usarlos para encontrar la pendiente (m). ¡Ahora tienes la pendiente y un punto en la recta! Ahora puedes sustituir los valores de m, x y y en la ecuación y = mx + b y encontrar b.
Ejemplo avanzado
Problema
Escribe la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-4.6,6.45) y (1.15,7.6).
Encuentra la pendiente usando los puntos dados.
Sustituye la pendiente (m) en.
Sustituye algunas coordenadas de cada punto para x y y – este ejemplo usa (1.15,7.6). Luego resuelve b.
Reescribe con m = 0.2y b = 7.37.
Respuesta
La ecuación de la recta que pasa por los puntos (-4.6,6.45) y (1.15,7.6) es .
Escribe la forma pendiente-intersección de la recta que pasa por (5, 2) y (−1, −10).
Explicación paso a paso: