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P ( A ) = 0,6; P( B )= 0,3 y P ( A ∩ B ) = 0,2.¿Cuál es la probabilidad de P(A/B)?

Respuestas

Respuesta dada por: lugoe369
0

Respuesta:Si A y B son sucesos incompatibles, tenemos

el siguiente diagrama de Venn.

Ω ❘

A B

La ´area en A o B es igual a la suma de las

dos ´areas. Entonces, interpretando probabilidad como ´area, concluimos que

P(A o B) = P(A) + P(B).

239

En el caso m´as general, tenemos el siguiente

diagrama Venn.

Ω ❘

A B

Vemos que la ´area contenida en el suceso A o B

es igual a la ´area en A m´as la ´area en B menos

la ´area en A y B. Entonces, tenemos la f´ormula

general.

Para dos sucesos A y B, se tiene la ley de

adici´on:

P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B)

240

Observamos tambi´en que se tiene P(A y B) ≤

m´ın{P(A), P(B)} y P(A o B) ≥ m´ax{P(A), P(B)}.

Ejemplo 115 Supongamos que se lanza un dado equilibrado dos veces. Sea A el suceso de

que la suma de las dos tiradas es 6 y B el suceso de que la diferencia absoluta entre las dos

tiradas es igual a 2.

El espacio muestral es Ω = {(1, 1), (1, 2) ..., (6, 6)}

contiene 36 sucesos elementales equiprobables.

Luego

A = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)}

B = {(1, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 5), (4, 2), (4, 6), (5, 3), (6, 4)}.

Entonces P(A) = 5

36 y P(B) = 8

36.

Directamente, tenemos

A o B = {(1, 3), (1, 5), (2, 4), (3, 1), (3, 3), (3, 5),

(4, 2), (4, 6), (5, 1), (5, 3), (6, 4)}

y luego P(A o B) = 11

36.

241

Adem´as A y B = {(2, 4), (4, 2)} que implica

que P(A y B) = 2

36.

Entonces, aplicando la f´ormula

P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B)

=

5

36 + 8

36 − 2

36

=

11

36

Ejemplo 116 Hay 15 cl´ınicas en una ciudad.

De ellas, 6 no cumplen las reglas sanitarias y

8 no cumplen los requisitos de seguridad. 5

cl´ınicas no cumplen ni los requisitos de seguridad ni las reglas sanitarias.

Si se elige una cl´ınica para inspeccionar al azar,

¿cu´al es la probabilidad de que cumpla ambos

reglamientos?

242

Sea A el suceso de que cumple las reglas sanitarias y B el suceso de que cumple los requisitos de seguridad.

Si elegimos una cl´ınica al azar, tenemos

P(A¯) = 6

15

P(B¯) = 8

15

P(A¯ y B¯) = 5

15

Deducimos que P(A)=1 − P(A¯) = 9

15 y tambi´en que P(B)=1 − P(B¯) = 7

15.

Ahora miramos el diagrama de Venn.

243

Ω ❘

A o B

A¯ y B¯

Observamos que (A o B) ∪ (A¯ y B¯)=Ω y tambi´en los dos sucesos son incompatibles. Luego

P(A o B)=1 − P(A¯ y B¯) = 10

15

Ahora necesitamos calcular P(A y B).

Recordamos que

P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B)

que implica que P(A y B) = 9

15 + 7

15 − 10

15 =

6

15 = 2

5.

Explicación paso a paso:

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