Question

Sean u=-i+3j y v=αi-2j Encuentre α tal que:
a) u y v sean ortogonales.
b) u y v sean paralelos.
c) El ángulo entre u y v sea π/4

Answer 1

a) Como u y v son ortogonales, el producto escalar entre estos vectores es nulo. Entonces:

$u\cdot v=0\Longrightarrow (-1,3)\cdot(\alpha, -2)=0\\\\ (-1)\cdot\alpha+3\cdot(-2)=0\\\\ -\alpha-6=0\\\\ \boxed{\alpha=-6}$

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b) Como u y v son paralelos, un vector es igual a otro multiplicado por un escalar, esto es: $u=tv,~t\in\mathbb{R}$. Entonces:

$u=tv\Longrightarrow (-1,3)=t(\alpha, -2)\\\\ (-1,3)=(t\alpha,-2t)\\\\ t\alpha=-1~(i)~~~\text{y}~~~-2t=3~(ii)$

Por (ii):

$-2t=3\iff t=\dfrac{3}{-2}\iff t=-\dfrac{3}{2}$

Sustituyendo en (i):

$t\alpha=-1\Longrightarrow -\dfrac{3}{2}\cdot \alpha=-1\iff \dfrac{3}{2}\alpha=1\iff\boxed{\alpha=\dfrac{2}{3}}$

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c) Podemos utilizar la fórmula del coseno del ángulo entre dos vectores. Si $\theta$ es el ángulo entre u y v:

$\cos\theta=\dfrac{u\cdot v}{||u||\cdot||v||}$

Como $\theta=\dfrac{\pi}{4}$:

$\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{(-1,3)\cdot(\alpha,-2)}{\sqrt{(-1)^2+3^2}\cdot\sqrt{\alpha^2+(-2)^2}}\\\\ \dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{(-1)\cdot\alpha+3\cdot(-2)}{\sqrt{1+9}\cdot\sqrt{\alpha^2+4}}\\\\ \dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{-\alpha-6}{\sqrt{10}\cdot\sqrt{\alpha^2+4}}\\\\ -\alpha-6=\dfrac{\sqrt2\cdot\sqrt{10}\cdot\sqrt{\alpha^2+4}}{2}\\\\ \alpha+6=-\sqrt{5}\cdot\sqrt{\alpha^2+4}~~(i)$

Vamos a elevar ambos lados de la ecuación (i) al cuadrado:

$(\alpha+6)^2=(-\sqrt{5}\cdot\sqrt{\alpha^2+4})^2\\\\ \alpha^2+12\alpha+36=5(\alpha^2+4)$

$\alpha^2+12\alpha+36=5\alpha^2+20\\\\ 4\alpha^2-12\alpha-16=0\\\\ \alpha^2-3\alpha-4=0\\\\\\ \Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-4)=9+16=25\\\\\\ \alpha=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-3)\pm\sqrt{25}}{2\cdot1}=\dfrac{3\pm5}{2}\\\\ \alpha=\dfrac{3+5}{2}=\dfrac{8}{2}~~~\text{o}~~~\alpha=\dfrac{3-5}{2}=\dfrac{-2}{2}\\\\ \alpha=4~~~\text{o}~~~\alpha=-1$

Sustituyendo en (i) los valores de $\alpha$:

- Para $\alpha=4$:

$\alpha+6=-\sqrt{5}\cdot\sqrt{\alpha^2+4}\\\\ 4+6=-\sqrt{5}\cdot\sqrt{4^2+4}\\\\ 10=-\sqrt{5}\cdot\sqrt{16+4}\\\\ 10=-\sqrt{5}\cdot\sqrt{20}\\\\ 10=-\sqrt{100}\\\\ 10=-10\to\text{\¡Absurdo!}$

- Para $\alpha=-1$:

$\alpha+6=-\sqrt{5}\cdot\sqrt{\alpha^2+4}\\\\ (-1)+6=-\sqrt{5}\cdot\sqrt{(-1)^2+4}\\\\ 5=-\sqrt{5}\cdot\sqrt{1+4}\\\\ 5=-\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}\\\\ 5=-\sqrt{25}\\\\ 5=-5\to\text{\¡Absurdo!}$

Por lo tanto, no existe un valor real alfa de tal manera que el ángulo entre u y v sea π/4.