Question

En una fabrica de tubos de cobre la producción diaria se almacena en una bodega formando pilas triangulares cada vez más altas tal como se muestra en la imágen.
a)¿Cuántos tubos habrá en la pila 20?.
b)¿Cuántos tubos habrá en la pila n?.
c)Sí en determinado momento se han producido 192 tubos, ¿es posible acomodarlos en una pila que continue la misma sucesión geométrica de la figura 1?.
d)Escribe una expresión algebraica para hallar la cantidad de tubos en cualquier número de pila.

Answer 1

Primero debes observar de qué forma se comporta la sucesión geométrica:
Pila 1:
1 tubo

Pila 2:
1 + 2 + 3 = 6 tubos

Pila 3:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 6 + 4 + 5 = 15 tubos

Pila 4: 
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 15 + 6 + 7 = 28 tubos

...

a)
Pila 20
1 + 2 + 3 + ... + 38 + 39 = 780 tubos

Y también debes saber lo siguiente:
$1+2+3+4+....+n= \frac{n(n+1)}{2}$

b)
Pila n:
1 + 2 + 3 + ... + (2n-1) = (2n - 1)(2n)/2 = (2n - 1)(n)

c) Sustituyes en la fórmula para ver si se puede:
(2n - 1)n = 2n² - n = 192
2n² - n - 192 = 0

Usas la fórmula general para hallar las soluciones de esa ecuación:
$n= \frac{1\pm \sqrt{1-4(2)(-192)} }{2(2)}= \frac{1\pm \sqrt{1537} }{4} = \frac{1\pm39.2}{4}$

No se puede acomodar de tal forma que se continúe la misma sucesión geométrica porque nos faltarían tubos para completar la pila

d)
(2n - 1)n = 2n² - n

Saludos!