Question

Tres amigos se sitúan en un campo de
fútbol. Entre Brayan y Camilo hay 16
metros. El ángulo formado en la esquina
de Alberto es de 85º y el ángulo formado
en la esquina de Brayan es de 60º.
Calcula la distancia entre Alberto y
Camilo.

Answer 1

La distancia entre Alberto y Camilo es de 13.91 metros

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-

Representamos la situación en un triángulo ABC en donde en cada uno de los vértices ubicamos a los tres amigos. Teniendo a Alberto, Brayan y Camilo en los vértices A, B y C respectivamente. En donde el lado BC (a) equivale a la distancia entre Brayan y Camilo de la cual conocemos su valor que es de 16 metros. Y los lados AC (b) y AB (c) que representan las distancias desde Alberto a Camilo y desde Alberto a Brayan respectivamente. Conociendo que el ángulo en la esquina donde se ubica Alberto es de 85°, y el ángulo en la esquina donde se coloca Brayan es de 60°

Donde se pide calcular la distancia entre Alberto y Camilo

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Para aplicar el teorema del seno se necesita conocer dos lados y un ángulo interior opuesto a alguno de estos dos lados, o bien conocer un lado y dos ángulos, donde uno de ellos debe ser el opuesto al lado del que se sabe el valor.

Solución

Denotamos a los ángulos dados por enunciado: donde se encuentra Alberto de 85° y donde se ubica Brayan de 60° como α y β respectivamente

Llamamos a la distancia de separación conocida de 16 metros entre Brayan y Camilo "a"

Establecemos una relación de proporcionalidad entre los lados y los ángulos del triángulo

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Hallamos el valor del lado b (AC) que es la distancia entre Alberto y Camilo

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha ) }= \frac{b}{sen(\beta )} }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(A ) } = \frac{b}{sen(B)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{16 \ m }{ sen (85 ^o ) } = \frac{ b }{sen(60 ^o ) } }}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 16 \ m \ . \ sen(60^o ) }{sen(85 ^o ) } }}$

$\large \textsf{El valor exacto de sen de 60 grados es } \bold {\frac{ \sqrt{3} } { 2 } }$

$\large\textsf{Reemplazando }$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 16 \ m \ . \ \frac{\sqrt{3} }{2} }{ 0.9961946980917}}}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ \not 2 \ . \ 8 \ m \ . \ \frac{\sqrt{3} }{\not2} }{ 0.9961946980917 }}}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 8 \ m \ . \sqrt{3} }{0.9961946980917 }}}$

$\boxed { \bold { b = \frac{ 13.856406460551 \ m }{ 0.9961946980917 }}}$

$\boxed { \bold { b \approx 13.909335\ metros }}$

$\large\boxed { \bold { b \approx 13.91\ metros }}$

El lado b tiene un valor de 13.91 metros, siendo este valor la distancia entre Alberto y Camilo

Aunque el enunciado no lo pida podemos también hallar la distancia que se tiene entre Alberto y Brayan

Hallamos el valor del del tercer ángulo C- donde se encuentra Camilo-  al cual denotamos como γ  

Por enunciado sabemos dos de los valores de los ángulos del triángulo acutángulo. Vamos a hallar el valor del tercer ángulo del triángulo.

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos es decir a 180°

Planteamos

$\boxed {\bold { 180^o = 85^o+ 60^o+ \gamma }}$

$\boxed {\bold {\gamma = 180^o- 85^o - 60^o }}$

$\large\boxed {\bold {\gamma = 35^o }}$

El valor del ángulo (γ) donde se ubica Camilo es de 35°

Hallamos el valor del lado c (AB) que es la distancia entre Alberto y Brayan

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha ) }= \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(A ) } = \frac{c}{sen(C)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{16 \ m }{ sen (85 ^o ) } = \frac{ c }{sen(35 ^o ) } }}$

$\boxed { \bold { c = \frac{ 16 \ m \ . \ sen(35^o ) }{sen(85 ^o ) } }}$

$\boxed { \bold { c = \frac{ 16 \ m \ . \ 0.5735764363510 }{0.9961946980917 } }}$

$\boxed { \bold { c = \frac{ 9.1772228816167 \ m \ }{0.9961946980917 } }}$

$\boxed { \bold { c \approx 9.2122784\ metros }}$

$\large\boxed { \bold { c \approx 9.21\ metros }}$

El lado c tiene un valor de 9.21 metros, siendo este valor la distancia entre Alberto y Brayan

Se adjunta gráfico para comprender las relaciones entre los ángulos y sus lados planteadas