Question

un oficial al mando de 5050 soldados les ordena formarse en una disposición triangular, de manera qué ka primera fila tenga un soldado, la segunda 2 ,la tercera 3. t así sucesivamente.¿ cuantas filas tendrá la formación?

Answer 1

Progresión aritmética (PA).

Primer término a₁ = 1
Diferencia entre términos consecutivos  d = 1
Suma de términos Sn = 5050

Nos pide el nº de filas de la formación que trasladado a dato de la PA sería "n", es decir, el nº de términos de la PA.

Hay que recurrir a la fórmula del término general y a la de suma de términos. Con ellas hay que montar un sistema de 2 ec. con 2 incógnitas.

Término general:  
$a_n=a_1+(n-1)*d\ \ sustituyendo...\\ a_n=1+(n-1)*1 \\ \\ a_n=n$

Suma de términos:
$S_n= \frac{(a_1+a_n)*n}{2} \\ \\ 5050=\frac{(1+a_n)*n}{2}$

Sustituyo  "an" por "n" que he deducido en la 1ª ecuación:
$5050=\frac{(1+n)*n}{2} \\ \\ 10100=n+n^2 \\ \\ n^2+n-10100 =0 \\ \\ a\ resolver\ por formula\ general... \\ \\ \left \{ {{n_1= \frac{-1+201}{2} }=100 \atop {n_2= \frac{-1-201}{2} }=-101} \right.$

Es obvio que hay que quedarse con la solución positiva puesto que estamos contando filas.

Así pues, la respuesta es 100 filas.

Saludos.