Question

1.- Dada la curva Y = x 3 + x 2 – 9x – 9 ; Hallar:
a).- La inclinación de "θ" cuando x = 2
b).- El ángulo "θ" cuando x = - 2
c).- Los puntos donde la dirección de la cuerva es paralela al eje "x"
d).- Los puntos donde "θ" es igual a 45°
e).- Los puntos donde la dirección de la curva es paralela a la recta 4x + 3 y + 13 = 0

Answer 1

Con relación a la pendiente de esta función, tenemos lo siguiente:

a) La inclinación en x=2 es de 81,87°.

b) La inclinación en x=-2 es de -45°.

c) La dirección de la curva es paralela al eje x en $x=\frac{-2-\sqrt{112}}{6}$ y $x=\frac{-2+\sqrt{112}}{6}$

d) La curva tiene inclinación de 45° en $x=\frac{-2-\sqrt{124}}{6}$ y $x=\frac{-2+\sqrt{112}}{6}$

e) La curva es paralela a la recta 4x+3y+13=0 en $x=\frac{-6-\sqrt{864}}{18}$ y $x=\frac{-6+\sqrt{864}}{18}$

Explicación paso a paso:

a) La pendiente de la recta tangente en un punto, que es igual a la derivada de la función en ese punto, es la tangente del ángulo de inclinación:

$y'=3x^2+2x-9\\\\y'(2)=3.2^2+2.2-9=7\\\\\theta=tan^{-1}(7)=81,87\°$

b) Entonces, para x=-2 el ángulo de inclinación es:

$y'=3x^2+2x-9\\\\y'(-2)=3(-2)^2+2(-2)-9=12-4-9=-1\\\\\theta=tan^{-1}(-1)=-45\°$

c) Si la dirección de la curva es paralela al eje x, la pendiente de la recta tangente es 0:

$y'=3x^2+2x-9=0\\\\x=\frac{-2\ñ\sqrt{2^2-4.3(-9)}}{2.3}=\frac{-2\ñ\sqrt{112}}{6}\\\\x=\frac{-2-\sqrt{112}}{6}\\\\x=\frac{-2+\sqrt{112}}{6}$

d) Si el ángulo de inclinación es de 45°, la pendiente de la recta tangente es 1:

$y'=3x^2+2x-9=1\\3x^2+2x-10=0\\\\x=\frac{-2\ñ\sqrt{2^2-4.3(-10)}}{2.3}=\frac{-2\ñ\sqrt{124}}{6}\\\\x=\frac{-2-\sqrt{124}}{6}\\\\x=\frac{-2+\sqrt{124}}{6}$

e) La pendiente de la recta 4x+3y+13=0 es:

$4x+3y+13=0\\\\3y=-4x-13\\\\y=-\frac{4}{3}x-\frac{13}{3}$

El coeficiente de 'y' es la pendiente de la recta, por lo que tenemos que igualar la derivada a ese valor:

$y'=3x^2+2x-9=-\frac{4}{3}\\\\y'=9x^2+6x-27=-4\\\\9x^2+6x-23=0\\\\x=\frac{-6\ñ\sqrt{6^2-4.9(-23)}}{2.9}=\frac{-6\ñ\sqrt{864}}{18}$