Question

Una valla cuyo perímetro tiene forma
triangular mide 20 metros en su lado
mayor, 6 metros en otro y 60º en el
ángulo que forman entre ambos.
Calcula cuánto mide el perímetro de la
valla.

Answer 1

El perímetro de la valla es de 43.78 metros

 

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno para hallar el lado faltante de la valla

Luego una vez conocidos los valores de los 3 lados del triángulo determinaremos su perímetro y sabremos la medida de la valla

Solución

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces, se cumplen las relaciones:

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha ) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta ) }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

Representamos la situación en un triángulo ABC donde el lado BC (a) y el lado AC (b) equivalen a las medidas conocidas de la valla de 20 metros y de 6 metros respectivamente. Donde ambos lados conocidos de la valla forman un ángulo de 60°

Donde como se pide hallar el perímetro de la valla, primero debemos determinar el valor del tercer lado de esta

La cual está dada por el lado faltante del triángulo: el lado AB (c)

Conocemos el valor de dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, luego empleamos el teorema del coseno para hallar la dimensión de tercer lado de la valla

Hallamos el lado faltante del triángulo (la medida desconocida de la valla)

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold { c^{2} =( 20 \ m)^{2} + (6 \ m)^{2} - 2 \ . \ 20 \ m \ . \ 6 \ m \ . \ cos(60)^o }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 400 \ m^{2} + 36 \ m^{2} - 240 \ m^{2} \ . \ cos(60)^o }}$

$\large\textsf{El valor exacto del cos de 60 grados es }\bold{ \frac{1}{2}= 0.5 }$

$\boxed {\bold { c^{2} =436 \ m^{2} - 240 \ m^{2} \ . \ 0.5 }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 436\ m^{2} -120 \ m^{2} }}$

$\boxed {\bold {c^{2} =52738.78 \ m^{2} }}$

$\boxed {\bold {\sqrt{ c ^{2} } = \sqrt{316 \ m^{2} } }}$

$\boxed {\bold {c = \sqrt{ 316 \ m^{2} } }}$

$\boxed {\bold { c \approx 17.776388\ m }}$

$\large\boxed {\bold { c \approx 17.78\ m}}$

El lado desconocido de la valla triangular mide aproximadamente 17.78 metros

Determinamos el perímetro de la valla triangular

El perímetro de una figura geométrica es la longitud de su contorno. Como tenemos un triángulo escaleno, su perímetro será la suma de los tres lados del triángulo

$\large\boxed {\bold { Perimetro \ Valla = Lado \ a \ + \ Lado \ b \ + \ Lado \ c }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores y resolvemos }$

$\boxed {\bold { Perimetro \ Valla = 20 \ m \ + \ 6\ m \ + \ 17.78 \ m }}$

$\large\boxed {\bold { Perimetro \ Valla = 43.78 \ m }}$

El perímetro de la valla es de 43.78 metros

Se adjunta gráfico para mejor comprensión entre las relaciones entre los lados y ángulos planteada