Question

Desde lo alto de un globo se observa un
pueblo A con un ángulo de 50º, y otro B,
situado al otro lado y en línea recta, con
un ángulo de 60º. Sabiendo que el globo
se encuentra a una distancia de 6
kilómetros del pueblo A y a 4 del pueblo B,
calcula la distancia d entre los pueblos A y
B

Answer 1

La distancia aproximada entre los pueblos A y B es de 8.27 kilómetros

 

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Para resolver este ejercicio vamos a aplicar el teorema del coseno

Solución

¿Qué es el Teorema del Coseno?

El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.

El teorema del coseno dice:

Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,

Entonces, se cumplen las relaciones:

$\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \ . \ b \ . \ c \ . \ cos(\alpha ) }}$

$\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \ . \ a \ . \ c \ . \ cos(\beta ) }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

Representamos la situación en un triángulo ABC en donde el vértice C representa el punto donde se sitúa el globo donde el lado AC (b) y el lado AB (a) equivalen a las distancias desde el globo hasta los pueblos A y B respectivamente. Y el lado AB (c) representa la distancia "d" entre los dos pueblos A y B la cual es nuestra incógnita

Hallamos el valor del ángulo γ

Dado que desde lo alto del globo se observa al pueblo A y al pueblo B con ángulos de 50° y de 60° respectivamente debemos determinar el valor del ángulo por debajo del globo al que denotamos como γ

Luego si trazamos una línea perpendicular desde la posición del globo hasta el plano del suelo resulta que se tienen 50° al lado izquierdo -hasta el pueblo A- y 60° al lado derecho -hasta el pueblo B-

Por tanto el ángulo γ resulta en:

$\large\boxed {\bold { \gamma = 50^o + 60^o = 110^o }}$

Hallando la distancia "d" entre el pueblo A y el pueblo B

La cual está dada por el lado faltante del triángulo lado AB (c)

Conocemos el valor de dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, luego empleamos el teorema del coseno para hallar la distancia entre los pueblos A y B

$\bold{d = c }$

Por el teorema del coseno podemos expresar

$\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \ . \ a \ . \ b \ . \ cos(\gamma ) }}$

$\large\textsf{Reemplazamos valores }$

$\boxed {\bold { c^{2} =( 4 \ km)^{2} + (6 \ km)^{2} - 2 \ . \ 4 \ km \ . \ 6 \ km \ . \ cos(110)^o }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 16 \ km^{2} + 36 \ km^{2} - 48 \ km^{2} \ . \ cos(110)^o }}$

$\boxed {\bold { c^{2} =52 \ km^{2} - 48 \ km^{2} \ . \ -0.342020143325 }}$

$\boxed {\bold { c^{2} = 52\ km^{2} +16.42 \ km^{2} }}$

$\boxed {\bold {c^{2} =68.42 \ km^{2} }}$

$\boxed {\bold {\sqrt{ c ^{2} } = \sqrt{68.42 \ km^{2} } }}$

$\boxed {\bold {c = \sqrt{ 68.42 \ km^{2} } }}$

$\boxed {\bold { c \approx 8.271638\ km }}$

$\large\boxed {\bold { c \approx 8.27\ km}}$

La distancia aproximada entre el pueblo A y el pueblo B es de 8.27 kilómetros

Se adjunta gráfico para mejor comprensión entre las relaciones entre los lados y ángulos planteadas