Question

Con que velocidad fue la lanzada horizontalmente una pelota si cayó a 8metros del lanzador y este se encontraba a una altura de 12m?​

Answer 1

La velocidad inicial con que fue lanzada la pelota fue 5.16 metros por segundo (m/s), luego esta fue su velocidad horizontal

Se trata de un problema de tiro horizontal

El tiro horizontal consiste en lanzar un cuerpo horizontalmente desde cierta altura.

Teniendo una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, que es la gravedad

Se trata de un movimiento rectilíneo uniforme (MRU) en su trayectoria horizontal o eje horizontal y un movimiento uniformemente variado (MRUV) en su trayectoria vertical o en el eje vertical

Al inicio del movimiento el proyectil solo posee una velocidad horizontal $\bold { V_{x} }$ debido a que carece de ángulo de inclinación, por lo tanto no presenta velocidad vertical inicial o sea que $\bold { V_{y} = 0 }$, luego esa velocidad se va incrementando a medida que el proyectil desciende.

SOLUCIÓN

Hallamos la velocidad con que fue lanzada la pelota

Primero calculamos el tiempo de vuelo del proyectil

$\large\textsf{Tomamos un valor de gravedad } \ \ \ \bold {g=10 \ \frac{m}{s^{2} } }$

Considerando la altura H desde donde ha sido lanzada $\bold {H= 12\ m }$

Dado que en el eje Y se tiene un MRUV empleamos la ecuación:

$\large\boxed {\bold { y =H - \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}$

$\bold{y= 0}$

$\large\boxed {\bold { 0 =H - \frac{1}{2} \ . \ g \ . \ t^{2} }}$

$\large\textsf{Donde despejamos el tiempo }$

$\boxed {\bold { 2 \ H =g \ .\ t^{2} }}$

$\boxed {\bold { t^{2} = \frac{2 \ H}{g } }}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{2 \ H }{g } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{2\ . \ 12 \ m }{10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{\frac{ 24 \not m }{10 \ \frac{\not m}{s^{2} } } }}}$

$\boxed {\bold { t = \sqrt{2.45 \ s^{2} } } }$

$\boxed {\bold { t = 1.549193 \ segundos } }$

$\large\boxed {\bold { t = 1.55 \ segundos } }$

El tiempo de vuelo de la pelota fue de 1.55 segundos

Conociendo ahora el tiempo de vuelo del cuerpo podemos determinar la velocidad con que fue lanzada la pelota

Luego hallamos la velocidad con la cual el proyectil fue lanzado

Dado que conocemos a que distancia desde el lanzador cayó la pelota, luego sabemos su alcance máximo $\bold { x_{MAX} = 8 \ m}$

$\boxed {\bold { x_{MAX} =V_{0x} \ . \ t }}$

$\boxed {\bold { x_{MAX} =V_{x} \ . \ t }}$

Donde como en el eje x se tiene un MRU despejamos la velocidad inicial

$\boxed {\bold { V_{0} = \frac{ x_{MAX} }{t} }}$

$\boxed {\bold { V_{0} = \frac{ 8 \ m}{ 1.55\ s} }}$

$\large\boxed {\bold { V_{0} =5.16\ \frac{m}{s} }}$

La velocidad inicial con que fue lanzada la pelota fue de 5.16 metros por segundo (m/s)

Aunque el enunciado no lo pida determinaremos con que velocidad cae la pelota al suelo

Hallamos la velocidad total de la pelota para su caída

1) Establecemos el vector velocidad para el tiempo de vuelo de 1.55 segundos

Para el eje x - horizontal

Dado que en el eje X se tiene un MRU, la velocidad permanece constante en toda la trayectoria. Tomamos el valor de la velocidad inicial que hallamos

$\boxed {\bold { {V_x} =V_{0x} }}$

$\large\boxed {\bold { {V_x} =5.16 \ \frac{m}{s} }}$

Para el eje y - vertical

Dado que en el eje Y se tiene un MRUV, la velocidad depende de la gravedad y el tiempo

En este movimiento no hay velocidad inicial en el eje Y o vertical $\bold { V_{y} = 0 }$

$\boxed {\bold { V_{y} =g\ . \ t }}$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed {\bold { V_{y} =-10 \ \frac{m}{s^{\not 2} } \ . \ 1.55 \not s }}$

$\large\boxed {\bold { V_{y} =-15.5\ \frac{m}{s} }}$

La velocidad total de la pelota en su caída se obtiene hallando la velocidad resultante de las componentes horizontal y vertical empleando el teorema de Pitágoras

$\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{T} }| = \sqrt{(V_{x} )^{2} +(V_{y} )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{\left(5.16 \ \frac{m}{s} \right)^{2} +\left(-15.5 \ \frac{m}{s}\right )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{26.6256 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } +240.25 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } } } }$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = \sqrt{266.8756 \ \frac{m^{2} }{s^{2} } } }}$

$\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = 16.336327 \ \frac{m}{s} }}$

$\large\boxed{ \bold { ||\overrightarrow{V_{R} }|| = 16.34 \ \frac{m}{s} }}$

La velocidad con la que cae la pelota al suelo es de 16.34 metros por segundo (m/s)

Se agrega gráfica que evidencia la trayectoria del movimiento