Question

Una partícula se encuentra inicialmente en el
origen de coordenadas y su velocidad viene dada por v = 8t3i + t2j.
Determinar la ecuación de su trayectoria. 

Answer 1

Recuerda que:

V  =  dr/dt

Donde: V = Velocidad instantanea
            r = vector posición de la particula
            t = tiempo

Asi, tendremos que:

V  dt =  dr

Integramos:

∫ V dt = ∫  dr

Pero: V = 8t³ i - t² j  , reemplazando obtenemos:

t                          r
∫ (8t³ i  - t² j ) dt =  ∫ dr
º                         º

8 ( t⁴/4) i  -  (t³/3) j  =  r

2 t⁴ i  - t³/3 j  = r    ← Vector posición de la particula, en funcion del tiempo.


Pero recuerda que queremos hallar la trayectoria de la particula, de tal modo:

i) x = 2t⁴ .......................(1)
ii)  y = - t³/3....................(2)

• Despejamos "t" en (1):

x = 2t⁴

⇒ $t = \sqrt[4]{ \frac{x}{2} }$

⇒  $t = \sqrt[4]{ \frac{x}{2} } . \sqrt[4]{\frac{2^3}{2^3} }$

⇒  $t =\frac{\sqrt[4]{ 8x}}{2}$ ......................(3)

• Reemplazamos ( 3 )   en  (2)       , y obtenemos que:


⇒ $y = \frac{-( \frac{\sqrt[4]{ 8x}}{2} )^3}{3}$

⇒ $y = \frac{-(\sqrt[4]{ 8x})^3}{24}$  ←  Ecuación de la trayectoria de
                                                                 la particula


Eso es todo!!!