Question

Pregunta para cracks
Si a+2b=6 y ab=3
Calcular a^3+8b^3

Answer 1

Respuesta:

               $108$

Explicación paso a paso:

Sistema de ecuaciones.

$a+2b= 6$

$ab = 3$

Por el método de Sustitución:

$a+2b = 6$    $ecuac.1$

$ab = 3$           $ecuac.2$

Despejamos " a " en la ecuac.1

$a = 6-2b$

Sustituimos " a " en la ecuac.2

$ab=3$

$(6-2b)b= 3$

$6b - 2b^{2} = 3$

$-2b^{2} +6b-3 = 0$

Aplicando la fórmula general:

$b = \frac{-b\frac{+}{} \sqrt{b^{2} -4ac} }{2a} =\frac{-6\frac{+}{} \sqrt{6^{2} -4(-2)(-3)} }{2(-2)}=\frac{-6\frac{+}{}\sqrt{36-24} }{-4} =\frac{-6\frac{+}{} \sqrt{12} }{-4} =\frac{-6\frac{+}{} 2\sqrt{3} }{-4}$

$b_{1} = \frac{-6+2\sqrt{3} }{-4} = \frac{3-\sqrt{3} }{2}$          ;          $b_{2} = \frac{-6-2\sqrt{3} }{-4} = \frac{3+\sqrt{3} }{2}$

Sustituimos los valores de " b " en la ecuac.1

$a = 6-2b$

$a_{1} = 6-2b_{1} = 6-2(\frac{3-\sqrt{3} }{2} ) =6-3+\sqrt{3} = 3+\sqrt{3}$

$a_{2} = 6-2b_{2} =6 -2(\frac{3+\sqrt{3} }{2} ) = 6-3-\sqrt{3} = 3-\sqrt{3}$

$Luego: a^{3} +8b^{3} = a_{1} ^{3} +8b_{1} ^{3} = (3+\sqrt{3} )^{3} +8(\frac{3-\sqrt{3} }{2} )^{3}$

                                            $= (3)^{3} +3(3)^{2} (\sqrt{3} )+3(3)(\sqrt{3} )^{2} +(\sqrt{3} )^{3} +[\frac{(3)^{3}-3(3)^{2}(\sqrt{3})+3(3)(\sqrt{3} )^{2} -(\sqrt{3} )^{3} }{(2)^{3} } ]$

$= 27+27\sqrt{3} +9(3) +3\sqrt{3} +8(\frac{27-27\sqrt{3} +9(3)-3\sqrt{3} }{8} )$

$= 27+27\sqrt{3} +27+3\sqrt{3} +27-27\sqrt{3} +27-3\sqrt{3}$

$= 108$