Una empresa de lámparas gana $84 instalando focos cierto número de días. Si la ganancia diaria por instalar focos fuera de $1 menos, se tendría que trabajar 2 días más para ganar $84. ¿Cuántos días trabaja la empresa para ganar $84?, ¿cuál es la ganancia diaria?
Respuestas
Se trabajan un total de 14 días y la ganancia diaria es de $6
Sea "x" la cantidad de días y sea "y" lo que se gana por día: entonces tenemos que
1. x*y = 84
2. x = 84/y
Si la ganancia fuera de $1 menos se tiene que trabajar dos días mas
3. (x + 2)*(y - 1) = 84
Igualamos las ecuación 1 y 3:
(x + 2)*(y - 1) = x*y
xy -x +2y - 2 = xy
-x + 2y - 2 = 0
Sustituimos la ecuación 2:
84/y - 2y -2 = 0
84/y = 2y + 2
84 = 2y² + 2y
2y² + 2y - 84 = 0
y² + y - 42 = 0
(y + 7)*(y - 6) = 0
Como y debe ser positivo entonces y = 6
x = 84/6 = 14
Entonces se trabajan un total de 14 días y la ganancia diaria es de $6
- La empresa trabaja 12 días para ganar $ 84.
- La ganancia diaria es de $ 7.
Para determinar estas cantidades se establece un sistema de ecuaciones.
¿Qué es un Sistema de Ecuaciones?
Se trata de un arreglo de ecuaciones que están relacionadas entre sí, donde pueden haber dos o más ecuaciones y contener dos o más incógnitas.
Del enunciado se obtiene la información:
- La cantidad de días la llamaremos "A".
- La ganancia diaria la llamaremos "B".
- La ganancia total se calcula como la ganancia diaria por los días trabajados, es decir, "A * B" y es igual a $ 84.
- Si la ganancia diaria es de $ 1 menos, se escribe "B - 1".
- Si trabajan dos días más, se tiene "A + 2".
Luego, el sistema de ecuaciones resulta:
- AB = 84
- (A + 2)(B - 1) = 84
De la ecuación 1 se despeja el valor de "A" y se sustituye en la ecuación 2.
AB = 84
A = 84/B
Luego:
(A + 2)(B - 1) = 84
AB - A + 2B - 2 = 84
(84/B)B - (84/B) + 2B - 2 = 84
84 - (84/B) + 2B = 86 (se multiplica toda la euación por "B").
84B - 84 + 2B² = 86B
2B² + 84B - 86B - 84 = 0
2B² - 2B - 84 = 0
B² - B - 42 = 0
Se tiene una ecuación de segundo grado de la forma "ax² + bx + c = 0". Las soluciones o raíces de la ecuación, se consiguen con la expresión:
x = [-b ± √(b² - 4ac)]/2a
Las raíces de la ecuación, se calculan tomando: a = 1, b = -1 y c = -42.
B = [-(-1) ± √((-1)² - 4 * 1 * -42)]/(2 * 1)
B = [1 ± √(1 + 168)]/2
B = [1 ± √(169)]/2
B = (1 ± 13)/2
Se tienen dos soluciones:
- B = (1 + 13)/2
B = 14/2
B = 7
- B = (1 - 13)/2
B = -12/2
B = -6
Como "B" corresponde a una ganancia, se toma solo el valor positivo, es decir, B = 7.
Luego, el valor de "A" resulta:
A = 84/B
A = 84/7
A = 12
Por lo tanto, se trabajan 12 días bajo una ganancia diaria de $ 7 para obtener los $ 84.
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