Question

4. Se dan los puntos A(4,1); B (7,3); C(2,3). Hallar un cuarto punto D de manera tal que el cuadrilátero que formen ABCD sea un paralelogramo.

Answer 1

El punto D que hace al cuadrilátero ABCD un paralelogramo es D(-1,1).

Explicación paso a paso:

Para que el cuadrilátero ABCD sea un paralelogramo, la recta que pasa por C y D tiene que ser paralela a la que pasa por A y B (para que el lado CD sea paralelo al lado AB). El vector director de esta última es:

$v_1=(7-4,3-1)=(3,2)$

Entonces la recta que pasa por los puntos C y D es: $r_1:(x,y)=(2,3)+\lambda(3,2)$ (tomamos a C como punto de referencia)

Y la recta que pasa por A y D tiene que ser paralela a la que pasa por B y C, siendo su vector director:

$v_2=(x_C-x_B,y_C-y_B)=(2-7,3-3)=(-5,0)$

Y la recta que pasa por A y D es $r_2:(x,y)=(4,1)+\sigma(-5,0)$ (tomamos a A como punto de referencia)

El punto D será la intersección entre las dos rectas:

$r_1:\left \{ {{x=2+3\lambda} \atop {y=3+2\lambda}} \right. \\\\r_2:\left \{ {{x=4-5\sigma} \atop {y=1}} \right.\\\\2+3\lambda=4-5\sigma\\3+2\lambda=1=>\lambda=-1\\\\2+3(-1)=4-5\sigma\\4-5\sigma=-1\\\\\sigma=1$

Entonces para hallar el punto D, podemos en cualquier recta reemplazar el valor hallado para el parámetro, por ejemplo en la recta 1:

$(x,y)=(2,3)+\lambda(3,2)=(2,3)+(-1)(3,2)=(-1,1)$

Answer 2

Respuesta: D=(-1, 1)

Explicación paso a paso: