Una avioneta de las naciones unidas (ONU) vuela siguiendo una trayectoria horizontal a 2000 m de altura con una velocidad constante de 800 km/h. Pretende dejar caer un paquete de ayuda humanitaria a una aldea de refugiados en el Norte de África, para ello suelta el paquete cuando se encuentra a una distancia en horizontal del objetivo de 5000 m.
Determinar:
a) ¿A qué distancia del objetivo cae el paquete?
b) ¿Cuánto tarda el paquete en llegar al suelo?
c) ¿Con que velocidad llega el paquete al piso?
Respuestas
Origen de coordenadas al pie del punto de lanzamiento.
800 km/h = 222 m/s
La posición del paquete es:
x = 222 m/s . t
y = 2000 m - 1/2 . 9,8 m/s² . t²
Para responder a) es necesario responder b)
b) El tiempo de vuelo: corresponde con y = 0
t = √(2 . 2000 m / 9,8 m/s²) = 20,2 s
a) Para ese instante:
x = 222 m/s . 20,2 s = 4484 m
Cae una distancia de 500 - 4484 = 516 m antes del refugio
c) La velocidad tiene dos componentes:
Vx = 222 m/s = constante.
Vy = - g t = - 9,8 m/s² . 20,2 s = - 198 m/s
Su módulo:
|V| = √(222² + 198²) = 297 m/s
Saludos
El movimiento que desarrolla el paquete es semiparabólico, recordamos que este movimiento está compuesto por MRU en el eje horizontal y MRUA en el eje vertical.
Tomamos como origen al pie del punto donde el paquete cae. Entonces las posiciones de este son :
y = y₀ + Voy . t - 1/2gt² ....(*)
x = Vx . t .......(**)
b) ¿Cuánto tarda el paquete en llegar al suelo?
- Tomamos en cuenta el eje vertical del movimiento, tenemos que el paquete está inicialmente a una altura de h₀ = 2.000m, además, la componente vertical es nula en ese instante (Voy = 0 ), entonces para el tiempo debemos saber que este llegará al suelo cuando h = 0. Reemplaza datos en (*) :
0 = 2.000m - 1/2 . 9,8m/s². t²
t = √[ 2.000m / 4,9m/s² ] ≈ 20,20s
El paquete tarda 20,2 segundos en caer al suelo.
a) ¿A qué distancia del objetivo cae el paquete?
- Convertimos la velocidad horizontal a m/s :
Vx = 800km/h . ( 1.000m / 1km ) . ( 1h / 3.600s ) ≈ 222,22m/s
Hallamos la distancia horizontal o alcance del paquete. Reemplaza el tiempo de vuelo y la velocidad horizontal en (**):
x = 222,22m/s . 20,20s = 4.488,84m
Entonces la distancia que cae del objetivo :
x' = 5.000m - 4488,84m = 511,16m
El paquete cae a 511,16 metros del objetivo.
c) ¿Con que velocidad llega el paquete al piso?
- La componente horizontal de la velocidad es constante en todo el trayecto :
Vx = 800km/h = 222,22m/s = cte
- La componente vertical de la velocidad aumenta a medida que el paquete baja, su magnitud al llegar al piso es : Vy = -gt
Vy = - 9,8m/s². 20,20s = - 197,96m/s
Negativa porque está dirigida hacia abajo.
Entonces la velocidad al tocar el suelo es :
V = ( 222,22 ; - 197,96 ) m/s
Su módulo : V² = Vx² + Vy²
V = √[ 222,22² + 197,96² ] m/s
V ≈ 297,61m/s
Su dirección bajo la horizontal :
θ = Tan¯¹( -197,96/222,22 ) ≈ - 41,7°