Question

Determine si el conjunto de pares ordenados de números reales
R2 = {(x1, x2): x1 ∈ R ∧ x2 ∈ R}
es un espacio vectorial sobre el campo R si se definen las
operaciones + y x

Answer 1

El conjunto planteado es un espacio vectorial sobre el campo R.

Explicación paso a paso:

Para que un conjunto sea un espacio vectorial tienen que cumplirse estas condiciones:

• El elemento nulo pertenece al subespacio.
• La suma de dos elementos del subespacio pertenece al subespacio (ley cerrada de la suma).
• La multiplicación de un elemento del espacio por un escalar pertenece al espacio.

En cuanto al nulo, si la única condición es que las dos coordenadas sean reales, el número 0 pertenece a los reales, por lo tanto (0,0) que es el nulo pertenece al espacio.

En  cuanto a la ley cerrada de la suma, tenemos que esta es cerrada para los reales:

$(x_1,x_2)\in R^2\\(x_3,x_4)\in R^2\\\\x_1+x_3\in R\\x_2+x_4\in R\\\\(x_1+x_3,x_2+x_4)\in R^2$

Se cumple la ley cerrada de la suma para cualquier par de elementos.

Si ahora multiplicamos por un escalar queda:

$(x_1,x_2)\in R^2=>x_1\in R, x_2\in R\\\\k.x_1\in R~si~k\in R\\k.x_2\in R~si~k\in R\\\\(kx_1,kx_2)\in R^2$

Se cumple también esta tercera condición, por lo tanto es un espacio vectorial.